Punti stazionari funzione implicita

[gbspeedy]

ho $f(x,y)=(x+y)e^(x+y)-x^2+3x-3$ e devo studiarne degli zeri.

ho difficoltà nel calcolare i punti stazionari

chiamo $varphi(x)$ la funzione implicita ( ho verificato che esiste ed è unica)

$varphi'(x)=-((x+varphi(x)+1)e^(x+varphi(x))-2x+3)/(e^(x+varphi(x))(x+varphi(x)+1))$

come faccio a studiare i punti stazionari?

[chisigma]

Chiamando $g(x,y)= - \frac{f_{x} (x,y)}{f_{y}(x.y)}$ il problema consiste nel trovare i valori di x e y che soddisfano il sistema di due equazioni in due incognite...

$f(x,y)=0$

$g(x,y)=0$

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[gbspeedy]

così ottengo $(x+varphi(x)+1)e^(x+varphi(x))-2x+3=0$ e $(x+varphi(x))e^(x+varphi(x))-x^2+3x-3=0$

e risolvendo ho $e^(x+varphi(x))+x^2-5x+6=0$

a questo punto cosa faccio?

[floppyes]

Ciao!

Per trovare i punti stazionari basta che fai la derivata parziale rispetto a x e poi rispetto a y, le poni uguali a zero e trovi i tuoi punti stazionari.

Nel tuo caso, la derivata parziale rispetto è x è:
$e^(x+y)(1+x+y)-2x+3$
Rispetto a y risulta:
$e^(x+y)(1+x+y)$

Le poni uguali a zero:
${ ( e^(x+y)(1+x+y)-2x+3=0 ),( e^(x+y)(1+x+y)=0 ):}$

Quindi risulta un punto stazionario:
$(3/2,-5/2)$

Ciaoo!

[chisigma]

"gbspeedy":così ottengo $(x+varphi(x)+1)e^(x+varphi(x))-2x+3=0$ e $(x+varphi(x))e^(x+varphi(x))-x^2+3x-3=0$

e risolvendo ho $e^(x+varphi(x))+x^2-5x+6=0$

a questo punto cosa faccio?

Il sistema di due equazioni in due incognite e' il seguente...

$(x+y+1)\ e^{x + y) - x^{2} + 3\ x -3 =0$

$(x+y)\ e^{x+y} -2\ x + 3=0$

... ma per risolverlo temo si debba ricorrere, salvo non trovare qualche 'machiavellismo', all'analisi numerica [metodo di Newton oppure algoritmo steepest descent]...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[gbspeedy]

le due equazioni non sono:
$e^(x+y)(x+y+1)-2x+3=0$ e $(x+y)e^(x+y)-x^2+3x-3=0$?