Punti stazionari funzione fratta, trigonometrica!

[Luca.mat1]

Salve, avendo questa funzione:

$ 1/(sinx-sqrt(3) cosx) $ e dovendone determinare i punti stazionari nell'intervallo (0, PiGreco) faccio la derivata prima, e fin qua ci sono:

D(F(x))= $ -(sqrt(3)sen(x)+cosx) /(cosx-sqrt(3)sinx)^2 $ , ponendola $>=$ 0 sul libro vi è un passaggio che non mi è chiaro, ovvero:
$ sqrt(3)sen(x)+cosx leq 0 $ e fin qua ci siamo, ma poi come giunge alla conclusione: $ tan x le -sqrt(3)/3 $ ?

[Luca.mat1]

nessuno mi aiuta?

[Antimius]

Basta che dividi l'espressione per la funzione coseno (per [tex]$x \in (-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi)$[/tex]; altrove ricordati di cambiare il segno della disequazione) e poi fai qualche passaggio algebrico.
P.s.: non fare up prima delle 24 ore; leggi il regolamento.

[Luca.mat1]

dunque, cambiando il segno avrò: $ sqrt(3)senx+cosx <=0 $ , dividendo il tutto per cos(x) otterrò:
$ sqrt(3)tanx+1<=0 <=>sqrt(3)tanx<=-1 <=> tanx<=-1/sqrt(3) $
moltiplicando allora num e den per $sqrt(3) $ avrò $ tanx<=-sqrt(3)/3 $
...grazie mille

[chiaraotta1]

Io farei così.....
$ f(x) = 1/(sin(x)-sqrt(3) * cos(x)) = 1/2 * 1/sin(x - pi/3)$ e quindi $f'(x) = 1/2 * (-1) * (cos(x - pi/3))/(sin(x - pi/3))^2$. Perciò $f'(x) = 0$ per $cos(x - pi/3) = 0$, $x - pi/3 = pi/2$ e $x = 5/6 pi$ (nell'intervallo $(0, pi)$). Inoltre $f'(x) > 0$ se $cos(x - pi/3) < 0$, $pi/2 < x - pi/3 < 3/2 pi$ e $5/6 pi < x < 11/6 pi$. Infine, tenendo conto del dominio, $f'(x) >= 0$ per $5/6 pi <= x < pi$.

[Lorin1]

Ad una cosa devi fare attenzione a mio parere. Quando hai la disequazione lineare omogenea $sqrt3senx+cosx<=0$ per risolverla giustamente ti hanno suggerito di dividere per coseno, ma è un pochino impreciso, in quanto devi moltiplicare e dividere per coseno, in modo da arrivare ad una disequazione del genere:

$cosx(sqrt(3)tgx+1)<=0$

e qui risolvi imponendo un sistema (falso sistema o pseudosistema, non so come lo chiami) in cui studi i segni. Questo procedimento è generale!