Punti stazionari funzione a due variabili

[Sorriso91]

Ciao a tutti,
ho un esercizio in cui mi viene chiesto di trovare i punti stazionari della seguente funzione:
$f(x,y)=xy|y|$
Ora, io so che i punti stazionari sono quelli che annullano il gradiente di $f(x,y)$, ma ho dei problemi con il valore assoluto e la derivata parziale rispetto ad $y$ . A me verrebbe:
$f_y (x,y)=x|y|+xy|y|/y $ che esiste per $y!=0$ ma stante questa condizione è impossibile che il gradiente mi si annulli perchè la derivata parziale rispetto ad $x$ è
$f_x (x,y)=y|y|$

come ne vengo a capo?

[Lory314]

Provo a darti una risposta, ma non ne sono sicuro. Penso che un problema di scrittura della derivata rispetto a $y$.

Se la scrivi come $f_y(x,y)=x|y| + xy\cdot\sign(y)$, allora questa sia annulla per $y=0$. Quindi la retta $y=0$ è formata tutta da punti stazionari.

Spero di non aver detto una cavolata.

[Raptorista1]

@Lory: così non fai che nascondere il problema, che comunque rimane perché il segno di \(y\) non è definito in zero [infatti molti lo esprimono ancora come \(\frac{|y|}{y}\)].

@Lucy: \(y |y|\) è derivabile in \(y = 0\), ma non con la formula di Leibniz perché non lo sono i singoli fattori.
Quello che però si può fare è calcolare la derivata in quel modo in tutti i punti tranne \(y = 0\) e poi, siccome la discontinuità che compare è del tipo eliminabile, eliminarla prolungando la derivata con continuità in \(y = 0\).