Punti stazionari e funzione non limitata

[Pylord]

Ciao a tutti , questo è il quesito su cui ho un dubbio:
La funzione f è limitata sul suo dominio? Determina la natura dei punti stazionari.

$ f(x,y)=2xy^2+y^3+y^2x^2 $

--Procedimento per trovare i punti stazionari (pongo il gradiente uguale a zero):

$ { ( 2y^2(2x+1)=0 ),( 2x^2y+4xy+3y^2=0 ):} $

Da cui trovo le soluzioni (forse ce ne sono delle altre):

$ { ( AAx ),( y=0 ):} vv { ( x=-1/2 ),( y=1/2 ):} $

--Studio la matrice Hessiana:

$ H_f(x,y) = ( ( 2y^2 , 4y(x+1) ),( 4y(x+1) , 2x^2+4x+6y ) ) $


$ H_f(-1/2,1/2) = ( ( 0, 1 ),( 1, 3/2) ) $ il cui $ detH_f(-1/2,1/2) = -1 $ è negativo, quindi è un punto di sella.


$ H_f(x,0) = ( ( 0, 0 ),( 0, 2(x^2+2x)) ) $ il cui $ detH_f(x,0) = 0 $ quindi non possiamo dire nulla con questo procedimento.

Posso dedurre in qualche modo se la funzione è limitata o occorre calcolare i limiti nelle varie direzioni?
Grazie in anticipo

[Mephlip]

Riguardo l'ultima domanda, puoi iniziare a risponderti da solo rispondendo a: qual è la definizione di limitatezza di una funzione?

Per il resto, qual è la domanda? Confermare/smentire il procedimento?

[Pylord]

Esatto, non sono certo del procedimento effettuato per trovare i punti stazionari.

"Per le funzioni reali, si indica come funzione limitata superiormente/inferiormente una funzione il cui valore non può mai essere superiore/minore ad un dato valore".
In questo esercizio ho trovato un punto di sella e un insieme di punti di cui non posso concludere nulla. Se avessi trovato un punto di massimo/minimo avrei potuto verificare che questo fosse un punto di massimo/minimo assoluto per dimostrare che la funzione fosse limitata superiormente/inferiormente.

[Mephlip]

Un primo errore che vedo è nel calcolo della prima componente del gradiente: dovrebbe essere $2y^2(x+1)$. La seconda è corretta. Quindi, purtroppo, tutto il resto è invalidato. Rifai i conti e ne riparliamo .

Per la limitatezza, innanzitutto quella non è una definizione ma sono parole informali in lingua italiana: scrivi per bene la definizione con i quantificatori e le variabili. Certamente, se sono assoluti. Ma il punto è che non ci possono essere massimo e minimo assoluti per $f$ nel suo dominio naturale. Ad esempio, cosa succede sui punti del tipo $(0,y)$?

[ghira1]

"StrilingAlQuadrato":
La funzione f è limitata sul suo dominio?

E quale sarebbe il suo dominio?

[Pylord]

Grazie delle risposte a entrambi e della correzione, correggo subito

--Procedimento per trovare i punti stazionari (pongo il gradiente uguale a zero):

$ { ( 2y^2(x+1)=0 ),( 2x^2y+4xy+3y^2=0 ):} $

Da cui trovo le soluzioni:

$ { ( AAx ),( y=0 ):} vv { ( x=1 ),( y=2/3 ):} $

--Studio la matrice Hessiana:

$ H_f(x,y) = ( ( 2y^2 , 4xy+4y ),( 4xy+4y , 2x^2+4x+6y ) ) $


$ H_f(1,2/3) = ( ( 8/9, 16/3 ),( 16/3, 10) ) $ il cui $ detH_f(1,2/3) < 0 $ quindi è un punto di sella.


$ H_f(x,0) = ( ( 0, 0 ),( 0, 2(x^2+2x)) ) $ il cui $ detH_f(x,0) = 0 $ quindi non possiamo dire nulla con questo procedimento.

Per capire se è limitata:

Restringo a
$ f(x,x) = x^4+3x^3 $
$ f(x,x) ~ x^4 -> +oo $ per $ x -> +-oo $

Quindi sicuramente non è limitata superiormente, quindi non è limitata inferiormente.

Riguardo al suo dominio penso che sia tutto R.. : $ D = {(x,y) sube R^2 AA(x,y)} $

[Mephlip]

Hai sbagliato di nuovo i conti. Uno dei punti che annulla il gradiente è \((-1,2/3)\), non \((1,2/3)\) come da te riportato. Comunque, il procedimento è quello: lo studio degli altri punti \((x,0)\) è corretto, perciò come puoi procedere ora per stabilire che tipo di punti sono (essendo il procedimento con l'hessiana inconcludente)?

Credo che ghira ti abbia fatto quella domanda perché le funzioni sono definite con dominio e codominio assegnati, quindi, non essendo stati specificati, il problema in realtà è mal posto. Tuttavia, c'è una "tradizione" che è quella in cui se non si specificano dominio e codominio si sottintende il dominio naturale (ossia l'insieme "più grande" in cui le operazioni che compaiono nell'espressione di $f$ hanno senso) e come codominio $\mathbb{R}$.

"StrilingAlQuadrato":
Quindi sicuramente non è limitata superiormente, quindi non è limitata inferiormente.

Hai dedotto correttamente che non è limitata superiormente, ma la seconda parte sulla limitatezza dal basso non si capisce; scritta così, sembra che tu abbia dedotto la limitatezza dal basso come conseguenza della limitatezza dall'alto (cosa falsa). Scrivi meglio cosa volevi dire.

[Pylord]

$ H_f(-1,2/3) = ( ( 8/9 , -16/3 ),( -16/3 , 2 ) ) $
$ det(H_f(-1,2/3)) < 0 $ quindi la conclusione non cambia.

Scusami, volevo scrivere "Visto che sicuramente non è limitata superiormente, non è limitata" ma non sono sicuro che sia una conclusione che posso semplicemente trarre dal fatto che non è limitata superiormente.

Riguardo lo studio dei punti $ (x, 0) $ non saprei sinceramente cosa dire.
$ f(x,0) = 0 $ quindi sull'asse delle x la funzione vale $ 0 $.
Potrebbero essere dei punti di minimo relativo o assoluto in quanto la funzione $ f(x,y) -> +oo $ per $ x -> +-oo $

[ghira1]

Prova con $(0,y)$.

[Pylord]

$ f(0,y) = y^3 $
$ f(0,y) -> +-oo $ per $ y->+-oo$

[Mephlip]

"StrilingAlQuadrato":Potrebbero essere dei punti di minimo relativo o assoluto

Dato che hai notato che $f(0,y) \to \pm \infty$ per $y \to \pm \infty$, certamente non esiste il minimo assoluto di $f$ su $\mathbb{R}^2$. Un modo per determinarli è studiare, ad esempio, $f(x,y)-f(x_0,0) \ge 0$; se esiste un intorno di $(x_0,0)$ in cui tale disuguaglianza è vera, allora sono punti di minimo locale. Similmente sono di massimo locale se è invece vera $f(x,y)-f(x_0,0) \le 0$ in un intorno di $(x_0,0)$. Infine, se in ogni intorno di $(x_0,0)$ la funzione $f(x,y)-f(x_0,0)$ cambia segno allora sono punti di sella. Insomma, devi fare un po' di conti e vedere se riesci a dimostrare che valgono quelle disuguaglianze in un intorno di $(x_0,0)$ o che c'è cambio di segno in ogni intorno di $(x_0,0)$.

"StrilingAlQuadrato":Scusami, volevo scrivere "Visto che sicuramente non è limitata superiormente, non è limitata"
ma non sono sicuro che sia una conclusione che posso semplicemente trarre dal fatto che non è limitata superiormente.

Qual è la negazione di funzione limitata? Hai provato a capire intuitivamente se quella deduzione è vera facendoti degli esempi semplici?

[Pylord]

Una funzione è limitata se è limitata sia superiormente che inferiormente.
La negazione di funzione limitata è una funzione che ha almeno una parte non limitata, per questo io dico che se è illimitata superiormente non è una funzione limitata. Non so se sia esatto tutto ciò, credo sia solo una questione di definizione.

[Mephlip]

Sì, esatto. Volevo arrivare proprio lì: limitata significa limitata superiormente e inferiormente, non limitata significa non limitata superiormente oppure non limitata inferiormente. Quindi, basta dubbi! L'oppure logico risponde al tuo dubbio (e ti sei risposto da solo ).

[Pylord]

Grazie mille Spero che il thread possa aiutare qualcuno con il mio stesso dubbio.