Punti stazionari di una funzione fratta

[mobley]

L'esercizio risale all'appello di quest'inverno. Come disse un collega: "per risolverlo bisognava essere astrofisici".

La funzione è la seguente:

$f(x,y)=[((4x+5)^2)/(x^2+1)]y^3$

Calcolo le derivate parziali:

$f_(\x)(x,y)=([2(4x+5)4](x^2+1)-(4x+5)^2(2x))/((x^2+1)^2)y^3=(2(4x+5)(-3x^2-5x+1))/((x^2+1)^2)y^3$

$f_(\y)(x,y)=(((4x+5)^2)/(x^2+1))3y^2$

da cui

$y^2(4x+5)[2y(-3x^2-5x+1)+(4x+5)3(x^2+1)]=0$

Quindi ho:

caso 1) $y^2=0->y=0$ che mi rende il sistema indeterminato. Quindi $oo$ soluzioni.

caso 2) $4x+5=0->x=-5/4$ che di nuovo mi dà sistema indeterminato.

e fin qua sembra concordare con quanto dice Wolpram Alpha. Tuttavia rimarrebbe il terzo caso sul quale sto sbattendo la testa da ore senza riuscire a cavarne un ragno dal buco (con Ruffini) e di cui lo stesso wolpram non fornisce soluzioni. Qualcuno sa spiegarmi come è possibile?

[cooper1]

mi sembra tu abbia calcolato male la derivata rispetto alla x.
$f_x =([2(4x+5)4](x^2+1)-(4x+5)^2(2x))/((x^2+1)^2)y^3=(2(4x+5)(4-5x))/((x^2+1)^2)y^3 $
quindi il sistema che devi risolvere dovrebbe essere:
$ { ( (4x+5)(4-5x)y^3=0 ),( y^3(4x+5)^2=0 ):} $

[mobley]

Mi sono mangiato il $4$ A questo punto l'unico stazionario è $(4/5,0)$, mentre per $x=-5/4$ ci sono $oo$ soluzioni.

Sempre preciso come al solito cooper! Grazie!