Punti stazionari di una funzione a due variabili

[qwertino789]

Ciao a tutti, sapreste aiutarmi con lo svolgimento di questo esercizio ? Classificare gli eventuali punti stazionari della funzione
f(x, y) = 4x^3 -6x^2 +8xy^2
nel suo insieme di definizione. Ho trovato che i punti stazionari sono quelli del tipo (0,y) e (3/2,0): il pto (3/2,0) tramite la matrice Hessiana ho trovato che è un punto di minimo relativo, tuttavia non so come procedere per i pti (0,y) in cui il determinante della matrice Hessiana è uguale a 0, sapreste dirmi come posso identificare questo punto? Grazie mille

[ingres]

Per la funzione

[math]f\left(x,y\right)=4x^3-6x^2+8xy^2[/math]

i punti stazionari non sono quelli indicati, ma risultano (0,0) e (1,0).

[qwertino789]

ingres ha scritto:

Per la funzione

[math]f\left(x,y\right)=4x^3-6x^2+8xy^2[/math]

i punti stazionari non sono quelli indicati, ma risultano (0,0) e (1,0).

Hai ragione perdonami! Ho scritto la derivata parziale rispetto ad x, la funzione f(x,y) è x^4 -2x^3 +4x^2y^2

[ingres]

Provo a darti una risposta non rigorosa (ma spero corretta), perchè i casi in cui l'Hessiano è nullo sono sempre complicati da trattare.

Nell'intorno di un generico punto (0,y0) con y0 diverso da zero, la funzione in un intorno molto prossimo al punto può essere descritta dal termine 4x^2y0^2 che è un infinitesimo in x minore degli altri termini, per cui si può concludere che tali punti sono di minimo (in senso debole perchè il valore nullo è assunto infinite volte nell'intorno del punto),

Invece per il punto (0,0), se si studia la restrizione y=0, la funzione è approssimabile da -2x^3 che cambia segno nell'intorno di x=0 per cui (0,0) è un punto sella.