Punti stazionari di funzioni in 2 variabili

[Whise1]

Ciao a tutti ho un problema nel capire la risoluzione di alcuni esercizi in cui si chiede di classificare i punti stazionari di alcune funzioni in 2 variabili.
Premetto che ho già guardato in giro ma proprio non capisco come il prof. ragioni in alcuni passaggi.

Il caso che crea problemi è ovviamente quello in cui il det(H) = 0. Da li ho capito che vi sono 2 strade:

1) ragiono analizzando gli autovalori (di cui il profe non ha spiegato nulla)
2) analizzo qualitativamente il segno della funzione in un intorno del punto critico.

Per fare un esempio:
$ f(x,y)=x^(3)-6 x y+3y^(2)+3 x $

ottengo come punto critico (1,1), in cui il det(H) = 0

a questo punto dice:
"Notiamo che fy(x,x)=0 quindi indaghiamo sulla curva passante per (1,1):
$ f(x,x)-f(1,1) = x^3 -3x^2+3x-1 =g(x) $
da cui
$ g'(x) =3(x-1)^2 $ che è $ >0 per x!=0 $

quindi il punto (1,1) è un punto di sella per f(x,y)."

Ecco questi sono i passaggi che non capisco. qualcuno me li riesce a spiegare in maniera piu chiara?

Grazie per le risposte.

[Whise1]

Nessuno mi dà una mano??

[Camillo]

Nota che $g(x) $ ha un flesso ascendente a tangente orizzontale per $x=1 $ . infatti la derivata prima $g'(x) $ vale $0 $ solo in $x=1 $ punto in cui ha tangente orizzontale mentre in tutti gli altri punti la derivata è positiva, quindi funzione crescente.
Quindi la funzione di 2 variabili ha in $(1,1)$ un punto di sella .

[Whise1]

ok, ma perchè considera proprio quella g(x)?? come la determina? perchè fà F(x,y)-f(1,1)??


Grazie per le risposte.

[Whise1]

ciao,
nessuno che mi ha voglia di aiutarmi a capire questa cosa?

[Antimius]

Credo che ti voglia semplicemente far notare che quella distanza cresce sulla retta $y=x$. Quindi, in sostanza hai $g(1)=0$ e $g(x)>0$ per $x>0$ e $g(x)<0$ per $x<0$.

[Whise1]

ok,
penso anchio che voglia esaminare l'andamento in un intorno di (1,1).

Ma perchè usa quella g(x)? e poi come fà a concludere che è un punto di sella???

[Antimius]

Per quello che ti ho scritto su. Infatti, se sostituisci di nuovo $g(x)=f(x,x)-f(1,1)$, ottieni che esistono valori rispetto a cui il valore in quel punto è maggiore ($x<0$), e altri rispetto a cui è minore ($x>0$).

[Whise1]

quindi lui guarda quale delle derivate parziali si azzera e per quale valore.
A quel punto considera una curva passante per quel punto del tipo:
$ g(x)=f(x,x)-f(1,1) $

e se questa ha un flesso orizzontale allora il punto è punto di sella?

non dovrei studiare anche l'altra direzione per poter concludere ciò? non potrebbe essere anche un minimo?

[Antimius]

Eh, no, perché in un qualsiasi intorno di $(1,1)$, hai punti per cui risulta $f(x,y)>=f(1,1)$ (precisamente i punti del tipo $(x,x)$ con $x>0$) e valori per cui succede l'inverso. Quindi, non può essere né massimo né minimo.