Punti stazionari di funzione con vincoli
Riporto un esempio particolarmente semplice di studio dei punti stazionari di una funzione con vincoli perchè ho alcuni dubbi.
Supponiamo di voler studiare i punti stazionari della funzione $f(x,y)=xy$ definita sull'insieme $M={(x,y)\inRR^2:x^2+y^2=1}$.
1) Metodo geometrico.
L'idea è di trovare i punti di tangenza tra le curve di livello e il vincolo.
In questo caso il vincolo è la circonferenza unitaria centrata nell'origine mentre la curva di livello $k$ è l'insieme $L_k={(x,y)\inRR^2:f(x,y)=k}={(x,y)\inRR^2:xy=k}$ ed è dunque un'iperbole se $k!=0$ o è l'unione degli assi cartesiani se $k=0$.
I punti di tangenza sono quindi $A=(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$, $B=(1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$, $C=(-1/sqrt(2),1/sqrt(2))$, $D=(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$.
A questo punto come faccio a stabilire quali sono massimi locali, quali minimi locali e quali selle?
Supponiamo di voler studiare i punti stazionari della funzione $f(x,y)=xy$ definita sull'insieme $M={(x,y)\inRR^2:x^2+y^2=1}$.
1) Metodo geometrico.
L'idea è di trovare i punti di tangenza tra le curve di livello e il vincolo.
In questo caso il vincolo è la circonferenza unitaria centrata nell'origine mentre la curva di livello $k$ è l'insieme $L_k={(x,y)\inRR^2:f(x,y)=k}={(x,y)\inRR^2:xy=k}$ ed è dunque un'iperbole se $k!=0$ o è l'unione degli assi cartesiani se $k=0$.
I punti di tangenza sono quindi $A=(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$, $B=(1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$, $C=(-1/sqrt(2),1/sqrt(2))$, $D=(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$.
A questo punto come faccio a stabilire quali sono massimi locali, quali minimi locali e quali selle?
Risposte
Prova a pensare al segno della funzione: nel primo e nel terzo quadrante è positiva, nel secondo e nel quarto negativa.
Giusto! 
Concludo quindi che $A$ e $D$ sono massimi locale mentre $B$ e $C$ sono minimi locali.
Ora provo a rifare il tutto in un secondo modo.
2) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Definisco $Lambda(x,y)=xy-lambda(x^2+y^2-1)$ e cerco le soluzioni del sistema $\{(y=2lambdax),(x=2lambday),(x^2+y^2=1):}$ che sono $(x,y,lambda)=(1/sqrt(2),1/sqrt(2),1/2)$ (che corrisponde al punto $A$), $(x,y,lambda)=(1/sqrt(2),-1/sqrt(2),-1/2)$ (che corrisponde al punto $B$), $(x,y,lambda)=(-1/sqrt(2),1/sqrt(2),-1/2)$ (che corrisponde al punto $C$) e $(x,y,lambda)=(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2),1/2)$ (che corrisponde al punto $D$).
Ora però, supponendo di non sapere che sto trattando una circonferenza e che la funzione è positiva solo nel primo e nel terzo quadrante (considerazioni che mi sono possibili solo perchè questo esempio è particolarmente semplice), come posso studiare in maniera "algebrica" massimi e minimi?
Concludo quindi che $A$ e $D$ sono massimi locale mentre $B$ e $C$ sono minimi locali.Ora provo a rifare il tutto in un secondo modo.
2) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Definisco $Lambda(x,y)=xy-lambda(x^2+y^2-1)$ e cerco le soluzioni del sistema $\{(y=2lambdax),(x=2lambday),(x^2+y^2=1):}$ che sono $(x,y,lambda)=(1/sqrt(2),1/sqrt(2),1/2)$ (che corrisponde al punto $A$), $(x,y,lambda)=(1/sqrt(2),-1/sqrt(2),-1/2)$ (che corrisponde al punto $B$), $(x,y,lambda)=(-1/sqrt(2),1/sqrt(2),-1/2)$ (che corrisponde al punto $C$) e $(x,y,lambda)=(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2),1/2)$ (che corrisponde al punto $D$).
Ora però, supponendo di non sapere che sto trattando una circonferenza e che la funzione è positiva solo nel primo e nel terzo quadrante (considerazioni che mi sono possibili solo perchè questo esempio è particolarmente semplice), come posso studiare in maniera "algebrica" massimi e minimi?
vedendo che valori assume la funzione nei punti trovati
D'accordo ma in generale se trovo più di due punti stazionari, anche valutando il valore della funzione nei vari punti, che informazioni traggo sul fatto di essere max/min/sella?
Altra questione già che ci sono...il metodo dei moltiplicatori di Lagrange lo posso applicare solamente se il vincolo M è una varietà differenziale (dunque il gradiente ha rango massimo in ogni punto di M) o basta che il vincolo sia definito da equazioni (dunque il gradiente può anche non avere rango massimo in ogni punto di M)?
Altra questione già che ci sono...il metodo dei moltiplicatori di Lagrange lo posso applicare solamente se il vincolo M è una varietà differenziale (dunque il gradiente ha rango massimo in ogni punto di M) o basta che il vincolo sia definito da equazioni (dunque il gradiente può anche non avere rango massimo in ogni punto di M)?
"thedarkhero":
D'accordo ma in generale se trovo più di due punti stazionari, anche valutando il valore della funzione nei vari punti, che informazioni traggo sul fatto di essere max/min/sella?
il più grande è il max, il più piccolo è il minimo
E quelli intermedi non potrebbero essere anche loro massimi o minimi locali?
mmm
ma se noi consideriamo un vincolo, come la circonferenza del tuo esempio, ci interessano i punti che assumono il valore maggiore e quelli che assumono il valore minore; non ci interessano i punti che assumono valori intermedi, is it?
ma se noi consideriamo un vincolo, come la circonferenza del tuo esempio, ci interessano i punti che assumono il valore maggiore e quelli che assumono il valore minore; non ci interessano i punti che assumono valori intermedi, is it?
Mi sono espresso male, con valori intermedi non intendevo tutti i valori assunti dalla funzione compresi tra massimo e minimo ma eventuali punti di minimo/massimo locali ma non globali.
Forse l'esempio che ho riportato è un po restrittivo perchè già a occhio ci si può assicurare che non ci sono selle e gli estremanti locali coincidono con quelli globali.
Non c'è un metodo standard per classificare i punti stazionari?
Se provo ad esempio a studiare gli estremanti della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ sul vincolo $\{(x^2-xy+y^2-z^2+1=0),(x^2+y^2-1=0):}$.
Usando i moltiplicatori di Lagrange ottengo:
$\{(2x+2lambda_1y+lambda_1y+2lambda_2x=0),(2y-lambda_1x+2lambda_1y+2lambda_2y=0),(2z-2lambda_1z=0),(x^2-xy+y^2-z^2+1=0),(x^2+y^2-1=0):}$
le cui soluzioni sono i punti $A=(-1,0,0)$, $B=(0,-1,0)$, $C=(0,1,0)$ e $D=(1,0,0)$.
Tutti e quattro questi punti (stazionari) sono tali che $f$ vale $1$ in questi punti, ma da qui come faccio a capire che sono di minimo (usando un metodo standard intendo, altrimenti basterebbe osservare che devono stare sul cilindro di raggio 1 e asse z)?
Forse l'esempio che ho riportato è un po restrittivo perchè già a occhio ci si può assicurare che non ci sono selle e gli estremanti locali coincidono con quelli globali.
Non c'è un metodo standard per classificare i punti stazionari?
Se provo ad esempio a studiare gli estremanti della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ sul vincolo $\{(x^2-xy+y^2-z^2+1=0),(x^2+y^2-1=0):}$.
Usando i moltiplicatori di Lagrange ottengo:
$\{(2x+2lambda_1y+lambda_1y+2lambda_2x=0),(2y-lambda_1x+2lambda_1y+2lambda_2y=0),(2z-2lambda_1z=0),(x^2-xy+y^2-z^2+1=0),(x^2+y^2-1=0):}$
le cui soluzioni sono i punti $A=(-1,0,0)$, $B=(0,-1,0)$, $C=(0,1,0)$ e $D=(1,0,0)$.
Tutti e quattro questi punti (stazionari) sono tali che $f$ vale $1$ in questi punti, ma da qui come faccio a capire che sono di minimo (usando un metodo standard intendo, altrimenti basterebbe osservare che devono stare sul cilindro di raggio 1 e asse z)?
"thedarkhero":
Tutti e quattro questi punti (stazionari) sono tali che $f$ vale $1$ in questi punti, ma da qui come faccio a capire che sono di minimo (usando un metodo standard intendo, altrimenti basterebbe osservare che devono stare sul cilindro di raggio 1 e asse z)?
Non so se anche per gli estremi vincolati si possa sfruttare la forma della matrice hessiana
provaci
Lo escluderei a prescindere...prendi ad esempio una funzione che ha come dominio $RR^2$ e ha nell'origine un punto di sella.
Se però vincoliamo questa funzione ad un'opportuna retta, l'origine potrebbe diventare un minimo (o massimo) locale, giusto?
Dunque mi rimane il dubbio di come poter classificare i punti stazionari che in generale trovo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange...
Se però vincoliamo questa funzione ad un'opportuna retta, l'origine potrebbe diventare un minimo (o massimo) locale, giusto?
Dunque mi rimane il dubbio di come poter classificare i punti stazionari che in generale trovo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange...
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