Punti stazionari

[Sk_Anonymous]

Individuare il numero dei punti stazionari della funzione:
$f(x)=xln(x)-1/2bx^2-x$,
al variare del parametro reale $b$.
Discutere la natura di tali punti.

[adaBTTLS1]

se studi la derivata $f'(x)=ln(x)-bx$, tracci il grafico del logaritmo e consideri il fascio proprio di rette passanti per l'origine,

$g(x)=f'(x)=ln(x)-bx$
$g'(x)=f''(x)=1/x-b=(1-bx)/x$

$x>0$ (dal dominio della f) quindi se $b<=0$, $g'(x) > 0 AA x in (0, +oo)$ e quindi g=f' è strettamente crescente:
limite per x->0+ è -oo, limite per x->+oo è +oo. dunque per il teorema di esistenza degli zeri esiste (ed è unico per la stretta monotonia) un punto stazionario per la f.

supponiamo ora $b>0$.
i limiti di g per x->0+ e per x->+oo sono entrambi -oo e $g'(x) >= 0$ sse $x <= 1/b$
quindi, f'=g crescente in (0, 1/b) e decrescente in (1/b, +oo)
max in 1/b -> $g(1/b)=ln(1/b)-1$ -> ${[g(1/b)=0 " se " b=e^(-1)], [g(1/b)>0 " se " be^(-1)] :}$
nel caso di max < 0, cioè per $b>e^(-1)$, non ci sono punti stazionari.
nel caso di max=0, cioè per $b=e^(-1)$, c'è un punto stazionario (mi pare che la derivata prima e la derivata seconda siano =0, la derivata terza <0), dunque dovrebbe essere un flesso a tangente orizzontale.
nel caso di max > 0, cioè per $b è chiaro finora?
prova a completare tu l'esercizio e facci sapere come va.
ciao.

[Sk_Anonymous]

Mi piacerebbe capire meglio il tuo metodo;
io stavo andando avanti così:
se $b<=0$ si ha una sola soluzione
se $b>0$ dipende
=> Determiniamo tale parametro in modo che la retta $y=bx$ sia tangente a $y=lnx$
Nel generico punto di coordinate $(tau,ln(tau))$ della curva ,la tangente ha equazione:
$y-ln(tau)=1/(tau)*(x-tau)$ da cui,dovendo la tangente passare per l'origine,deve essere $tau=e$
pertanto $y=1/ex => b=1/e$
dopo ciò mi blocco

[adaBTTLS1]

a quanto pare le soluzioni coincidono.
io ho semplicemente studiato la derivata prima: è come ricercare i punti d'intersezione con l'asse x della funzione g(x)=f'(x)
limitiamoci al caso di b>0.
$lim_(x->0^+)\g(x)\=-oo$
$lim_(x->+oo)\g(x)\=-oo$
$g'(x) >= 0$ per $x <= 1/b$ -> g(x) crescente in (0, 1/b), decrescente in (1/b, +oo), max rel in x=1/b -> $g(1/b)=ln(1/b)-1$
quindi g(x) varia da $-oo$ a $ln(1/b)-1$ e poi da $ln(1/b)-1$ a $-oo$.
quante volte assume valore 0? mai se il max<0, 1 volta se max=0, 2 volte se max>0.... naturalmente insieme con la monotonia a tratti.
a questo punto dovresti ritrovarti con le soluzioni. è chiaro? ciao.