Punti stazionari
Ciao a tutti, facendo questo esercizio di ricerca dei punti stazionari, mi sono impallato. Allora, la funzione da studiare è:
$f(x,y)=xye^(xy)$
Dopo aver trovato che il gradiente si annulla in $(0,0)$ e nei punti del tipo $(x,-\frac1 x)$ e, usando il test sull'hessiana, aver trovato che $(0,0)$ è punto di sella, mi blocco nel cercare i punti del tipo $(x,-\frac1 x)$. Credo di dover studiare l'incremento visto che l'Hessiana ha $Det=0$, ma nn riesco a farlo.
Qualcuno mi da una mano come al solito? ^_^
Ciao!!
$f(x,y)=xye^(xy)$
Dopo aver trovato che il gradiente si annulla in $(0,0)$ e nei punti del tipo $(x,-\frac1 x)$ e, usando il test sull'hessiana, aver trovato che $(0,0)$ è punto di sella, mi blocco nel cercare i punti del tipo $(x,-\frac1 x)$. Credo di dover studiare l'incremento visto che l'Hessiana ha $Det=0$, ma nn riesco a farlo.
Qualcuno mi da una mano come al solito? ^_^
Ciao!!
Risposte
ci troviamo sull'iperbole dove si annullano le derivate parziali;
provo ad applicare un incremento h alla variabile x:
f(x+h,-1/x)=-(1+h/x)e^(-(1+h/x))
-(1+h/x) decresce al crescere di h, dunque anche la funzione, prodotto di una funzione decrescente e di un esponenziale di una funzione decrescente, dovrebbe decrescere al crescere di h, cioè spostandoci verso destra sul piano xy. dunque, trovandoci sull'iperbole, per incrementi positivi di ascissa la funzione decresce, mentre per incrementi negativi di ascissa la funzione cresce, dunque abbiamo trovato due direzioni lungo le quali la funzione ha diverso comportamento di crescenza, dunque i punti situati sull'iperbole non possono essere estremanti.
ti confesso
di nn essere sicurissimo di quanto ho scritto, aspetto con ansia delle risposte + precise ed esaurienti!
ciao, mys
provo ad applicare un incremento h alla variabile x:
f(x+h,-1/x)=-(1+h/x)e^(-(1+h/x))
-(1+h/x) decresce al crescere di h, dunque anche la funzione, prodotto di una funzione decrescente e di un esponenziale di una funzione decrescente, dovrebbe decrescere al crescere di h, cioè spostandoci verso destra sul piano xy. dunque, trovandoci sull'iperbole, per incrementi positivi di ascissa la funzione decresce, mentre per incrementi negativi di ascissa la funzione cresce, dunque abbiamo trovato due direzioni lungo le quali la funzione ha diverso comportamento di crescenza, dunque i punti situati sull'iperbole non possono essere estremanti.
ti confesso
di nn essere sicurissimo di quanto ho scritto, aspetto con ansia delle risposte + precise ed esaurienti!ciao, mys
Infatti credo che tutti i punti della forma $(x,-1/x)$ dovrebbero essere punti di minimo assoluto per $f$, se non ho sbagliato i conti.
Allora, l'incremento da studiare è $I(x,y)=f(xy)-f(a,-1/a)=xye^(xy)+1/e$. Comincia a studiare la funzione $g(z)=ze^z$ e scoprirari che ha minimo assoluto proprio $-1/e$.
Allora, l'incremento da studiare è $I(x,y)=f(xy)-f(a,-1/a)=xye^(xy)+1/e$. Comincia a studiare la funzione $g(z)=ze^z$ e scoprirari che ha minimo assoluto proprio $-1/e$.
Grazie mille, ancora una volta.... 
Sì, cmq Luca ha pienamente ragione, ho controllato anche disegnando il grafico della funzione con Derive e quelli sono effettivamente punti di minimo assoluto.
Sì, cmq Luca ha pienamente ragione, ho controllato anche disegnando il grafico della funzione con Derive e quelli sono effettivamente punti di minimo assoluto.
semplice e geniale la soluzione di luca!
mamma ke pasticcio ke ho fatto!!!
mamma ke pasticcio ke ho fatto!!!
Credo che il tuo ragionamento possa essere messo in dubbio fin da subito: hai dato un incremento alla $x$ ma non vedo perchè hai incrementato solo la $x$ che figura come prima entrata di $f$, mentre l'altra no.
Non disperare, l'idea potrebbe ancora funzionare se incrementi entrambe le $x$.
Non disperare, l'idea potrebbe ancora funzionare se incrementi entrambe le $x$.
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