PUNTI SINGOLARI DI UNA FUNZIONE

[studentean]

ciao,scusate se ti disturbo di nuovo,mi spiegate come si fa a trovare di una certa funzione f(x) i vari punti singolari e a caratterizzarli in singolari essenziali,ecc ecc



ho un po' di confusione

GRAZIE TANTE!!!

[Luca.Lussardi]

Ci sono vari risultati di classificazione delle singolarità, in genere negli esercizi capitano sempre le solite, ovvero poli (zeri dei denominatori). Ci sono poi le singolarità eliminabili, quelle che possono essere rimosse ridefinendo la funzione, ed infine tutte quelle che restano sono essenziali.

Posta qualche esempio che vediamo di classifdicarle su esempi concreti.

[studentean]

grazie luca della risposta,allora ti metto 3 funzioni:

1- f(z)=e^z / z sen(z)

2- f(z)= (1 -2z^2) sen(pig/z)

3- f(z)= cos(pi/z) / z(2^2-1)


mi piacerebbe capire la regola(il modo) per capire bene come studiare le singolarità e classificarle


GRAZIE

[studentean]

nessuno??

[Luca.Lussardi]

Bisogna ricordare anzitutto l'olomorfia delle funzioni elementari, come seno, coseno, esponenziale, polinomi ecc...

Ad esempio la funzione 1), se intendo $senz$ al denominatore, ha come singolarità $z=0$, e tutti gli zeri di $sen z$, che puoi trovare facilmente con la definizione, devi poi vedere che tipo di poli sono, che ordine hanno.

Nella 2) ancora hai una singolartità essenziale stavolta in $z=0$, poichè se sviluppi il seno ti viene uno sviluppo infinito in serie ad esponente negativo attorno a $z=0$, e quindi per definizione la singolarità è essenziale.

[gugo82]

"studentean":
3-$ f(z)= (cos(pi/z))/(z*(z^2-1))$

Cominciamo con un po' di studio della funzione $f$.
Notiamo innanzitutto che essa è certamente definita nel piano complesso privato dei punti $0,pm1$ (i quali annullano i denominatori delle espressioni frazionarie) ed è ivi olomorfa, perchè ottenuta come prodotto di funzioni olomorfe.
La $f$ si annulla nei punti in cui si annulla $cos(pi/z)$, onde in $pi/z=pi/2 kpi=(1+2k)/2 pi, k in ZZ$ ossia $z=2/(2k+1), k in ZZ$.

Veniamo alle dolenti note, ossia allo studio delle singolarità. I punti candidati ad essere singolari sono tutti quelli che stanno sulla frontiera dell'aperto di olomorfia di $f$, e tali punti sono proprio $0,pm 1$ insieme con l'infinito complesso $oo$. Poichè l'insieme dei candidati è costituito da punti isolati, le eventuali singolarità di $f$ sono tutte classificabili (ciò non sarebbe vero se l'insieme dei candidati contenesse un suo punto d'accumulazione, il quale in tal caso potrebbe essere una singolarità non isolata e quindi non classificabile).

- Cominciamo a studiare il comportamento di $f$ in $oo$: per fare ciò bisogna sostituire $z=1/zeta$ nell'espressione analitica di $f$ e studiare il comportamento in $0$ della funzione ausiliaria $g(zeta)=f(1/zeta)$. Sostituendo troviamo:

$g(zeta)=(cos(pizeta))/(1/zeta*(1/zeta^2-1))=zeta^3*(cos(pizeta))/(1-zeta^2)$

ed abbiamo evidentemente $lim_(zeta to 0)g(zeta)=0$: ne consegue che la $f$ ha un punto di regolarità in $oo$ e si può porre $f(oo)=0$ in modo da conservare l'olomorfia di $f$.

- Analizziamo il comportamento di $f$ intorno a $-1$. Visto che i fattori $cos(piz), 1/z$ sono regolari in $-1$, gli unici problemi derivano dal fattore $1/(z^2-1)$: scomponendo $z^2-1$ come differenza di due quadrati, possiamo scrivere:

$1/(z^2-1)=1/(z-1)*1/(z+1)$

con il primo fattore regolare in $-1$ ed il secondo fattore non limitato intorno a $1$, nel senso che risulta $lim_(z to -1) |1/(z+1)|=+oo$. La relazione di limite appena trovata ti assicura che la funzione $1/(z+1)$ ha una singolarità polare $-1$; d'altra parte, visto che $-1$ è uno zero d'ordine uno per il polinomio $z+1$, un semplice teoremino ti assicura che $1/(z+1)$ ha una singolarità polare d'ordine uno in $-1$.
Ne concludi che $f$ presenta una singolarità polare in $-1$ d'ordine uno, in quanto è prodotto delle funzioni $cos(pi/z), 1/z, 1/(z-1)$ regolari in $-1$ e della funzione $1/(z+1)$ che ha una singolarità polare in $-1$.

- Lo stesso discorso lo puoi ripetere pari pari per $1$: la $f$ presenta una singolarità polare d'ordine uno in $1$, in quanto è il prodotto delle funzioni $cos(pi/z), 1/z, 1/(z+1)$ regolari in $1$ e della funzione $1/(z-1)$ che presenta in $1$ una singolarità polare d'ordine uno.

- Infine, vediamo cosa succede in $0$. Innanzitutto notiamo che la funzione $1/(z^2-1)$ è regolare in $0$ (infatti si ha $lim_(z to 0)1/(z^2-1)=-1$), quindi il comportamento di $f$ intorno a $0$ dipende unicamente dal comportamento delle funzioni $cos(pi/z)$ e $1/z$ nel medesimo punto.

Poichè il polinomio $z$ ha in $0$ uno zero d'ordine uno, la funzione $1/z$ ha in $0$ una singolarità polare d'ordine uno.

Per la funzione $cos(pi/z)$ il discorso è un po' diverso: se guardiamo il comportamento del modulo di $pi/z$ quando $zto 0$, ci accorgiamo che $|pi/z|to +oo$, quindi $pi/z to oo$; ricordando che la funzione complessa $cos zeta$ ha una singolarità essenziale in $oo$, già possiamo dire che molto probabilmente la $cos(pi/z)$ avrà una singolarità essenziale in $0$... Proviamo analiticamente questo fatto: sostituendo $xi=1/z$ nello svilupppo di Taylor $cos(pixi)=\sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((2n)!)(pixi)^(2n)=\sum_(n=0)^(+oo) (-pi^2)^n/((2n)!) xi^(2n)$ si trova lo sviluppo in serie di Laurent di $cos(pi/z)$ intorno a $0$, che è:

$cos(pi/z)=\sum_(n=0)^(+oo) (-pi^2)^n/((2n)!) 1/z^(2n)$;

poichè nella serie di Laurent appena determinata ci sono infinite potenze di $1/z$, per definizione la funzione $cos(pi/z)$ presenta una singolarità essenziale in $0$.
Tirando le somme, $f$ è il prodotto della funzione $1/(z^2-1)$ regolare in $0$, della funzione $1/z$ che ha un polo d'ordine uno in $0$ e della funzione $cos(pi/z)$ che ha una singolarità essenziale in $0$: in questo caso la singolarità essenziale "prevale a mani basse" sulle altre, quindi $f$ ha una singolarità essenziale in $0$.

- Riassumendo:

1) $oo$ è un punto regolare (o di singolarità eliminabile, anche se non amo il termine) per $f$;
2) $-1$ è un polo d'ordine uno per $f$;
3) $1$ è un polo d'ordine uno per $f$;
4) $0$ è una singolarità essenziale per $f$.

Questo per quanto riguarda la classificazione delle singolarità di $f$ nell'esempio.

Per amor di generalità ti dico che ho usato qualcuno dei seguenti risultati (che si stabiliscono tutti con l'uso delle serie di Laurent):

Se $F$ è un polinomio che ha in $z_0$ uno zero (isolato) di molteplicità $k$, la funzione $1/F$ ha in $z_0$ una singolarità polare d'ordine $k$.
Se $F$ ha una singolarità isolata essenziale in $z_0$, allora anche $1/F$ ha una singolarità essenziale in $z_0$.

Se una funzione $F$ è prodotto di due funzioni $F_1,F_2$ ad ha un punto singolare in $z_0$ allora:
- $z_0$ è un polo d'ordine $k$ se una tra $F_1,F_2$ è regolare e non nulla in $z_0$ e l'altra ha un polo d'ordine $k$;
- $z_0$ è un polo d'ordine $k+h$ se $F_1, F_2$ hanno un polo in $z_0$ d'ordine $k,h$ rispettivamente;
- $z_0$ è un polo d'ordine $k-h$ se una tra $F_1,F_2$ ha un polo d'ordine $k$ in $z_0$ e l'altra ha in $z_0$ uno zero d'ordine $h
- $z_0$ è un punto di regolarità se una tra $F_1,F_2$ ha in $z_0$ un polo d'ordine $k$ e l'altra ha in $z_0$ uno zero d'ordine $hge k$;

- $z_0$ è una singolarità essenziale se almeno una tra $F_1,F_2$ ha una singolarità essenziale in $z_0$ e l'altra è regolare od ha un polo (d'ordine qualsiasi) in $z_0$

[Camillo]

Complimenti a Gugo per la spiegazione davvero " illuminante" ! Son sicuro che adesso i punti singolari non avranno più segreti per studentean ( e non solo per lui ) .

Mi sembra che ci siano due piccole sviste :
* all'inizio : la $f $ si annulla ove si annulla $cos(pi/z)$; $pi/z = pi/2+kpi$ , da cui $ z=2/(2k+1),k in ZZ$ ( e non $z=1/k ,k in ZZ-(0))$.
*Comportamento di $f $ intorno a $ -1$ .
La relazione di limite trovata assicura che la funzione $1/(1+z) $ ha una singolarità polare in $-1 $ ( e non : rispettivamente in $1 $ e in $-1 $ ).

EDIT : corretto in $z= 2/(2k+1) $

[gugo82]

"Camillo":Complimenti a Gugo per la spiegazione davvero " illuminante" ! Son sicuro che adesso i punti singolari non avranno più segreti per studentean ( e non solo per lui ) .

Mi sembra che ci siano due piccole sviste :
* all'inizio : la $f $ si annulla ove si annulla $cos(pi/z)$; $pi/z = pi/2+kpi$ , da cui $ z=2/(k+1),k in ZZ$ ( e non $z=1/k ,k in ZZ-(0))$.
*Comportamento di $f $ intorno a $ -1$ .
La relazione di limite trovata assicura che la funzione $1/(1+z) $ ha una singolarità polare in $-1 $ ( e non : rispettivamente in $1 $ e in $-1 $ ).

Grazie Camillo!

Per quanto riguarda le sviste:
* zeri di $f$... Errore di distrazione: faccio ammenda e correggo.
* singolarità di $f$... La frase che riporti tra parentesi è un residuo (:-D) della stesura precedente del post, in cui avevo analizzato le due singolarità $pm1$ contemporaneamente; poi ho deciso di separare la trattazione, ma ho dimenticato di sistemare quella frase!
(Figurati che mi capita spesso anche nella stesura definitiva dei miei appunti... sbianchetto un errore e poi vado avanti a scrivere, dimenticando di scrivere sul correttore asciutto!)

Spero che il nostro amico abbia capito qualcosa in più sulla classificazione stavolta; in particolare farebbe bene a mandare a memoria le regolette che chiudono il mio post precedente.


P.S.: Cami, però correggimi bene! $pi/z = pi/2+kpi$ , da cui $ z=2/(2k+1),k in ZZ$!

[Camillo]

Adesso correggo io ...