Punti singolari
Ciao a tutti!!!
non mi è tanto chiaro come individuare i punti singolari.
allora stavo studiando questa funzione:
$e^-|x^2-1|/(x+1)$ dopo aver trovato il dominio $(-infty, -1)U(-1, +infty)$ calcolato gli asintoti ecc. ecc. mi calcolo la derivata prima, che in questo caso è:
$-(e^(-|x^2-1|)(2x*sign(x^2-1)*(x+1)+1))/(x+1)^2$
ora se non sbaglio la derivata ha lo stesso dominio della funzione di partenza ovvero $(-infty, -1)U(-1, +infty)$ quindi $-1$ è un candidato punto singolare? Se si ora per classificarlo dovrei fare il limite, destro e sinistro, per $x->-1$ della derivata?
non mi è tanto chiaro come individuare i punti singolari.
allora stavo studiando questa funzione:
$e^-|x^2-1|/(x+1)$ dopo aver trovato il dominio $(-infty, -1)U(-1, +infty)$ calcolato gli asintoti ecc. ecc. mi calcolo la derivata prima, che in questo caso è:
$-(e^(-|x^2-1|)(2x*sign(x^2-1)*(x+1)+1))/(x+1)^2$
ora se non sbaglio la derivata ha lo stesso dominio della funzione di partenza ovvero $(-infty, -1)U(-1, +infty)$ quindi $-1$ è un candidato punto singolare? Se si ora per classificarlo dovrei fare il limite, destro e sinistro, per $x->-1$ della derivata?
Risposte
nessuno?
La strada che hai scelto è molto tortuosa, perchè non provi a scrivere la funzione per casi, utilizzando la definizione di valore assoluto? Procedendo come ti ho suggerito l'espressione analitica che descrive la funzione sarà molto più abbordabile.
Prova!
Prova!
Si, si ma non era quello il problema, in pratica io volevo sapere come individuare i punti singolari...
In pratica la mia domanda era: i punti singolari sono quei punti in cui la derivata prima non esiste, però se ad esempio ho una funzione che ha come dominio $(0, +infty)$ e calcolando la derivata ottengo che il dominio delle derivata è $(0, +infty)$ dato che $0$ già non apparteneva al dominio della funzione non devo considerarlo come candidato punto singolare... giusto?
mentre se ho che il dominio della funzione di partenza è $(0, +infty)$ e il dominio della derivata prima è $(0, 1) U (1, +infty)$, in questo caso $1$ è un candidato punto singolare dato che apparteneva al dominio della funzione di partenza ma non al dominio della derivata, e devo procedere alla sua classificazione cioè devo fare il limite per $x->1$ da destra e da sinistra della derivata per stabilire, in base ai risultati ottenuti, se si tratta di cuspide, punto angoloso o punto a tangente verticale giusto?...
spero di essere stato chiaro
In pratica la mia domanda era: i punti singolari sono quei punti in cui la derivata prima non esiste, però se ad esempio ho una funzione che ha come dominio $(0, +infty)$ e calcolando la derivata ottengo che il dominio delle derivata è $(0, +infty)$ dato che $0$ già non apparteneva al dominio della funzione non devo considerarlo come candidato punto singolare... giusto?
mentre se ho che il dominio della funzione di partenza è $(0, +infty)$ e il dominio della derivata prima è $(0, 1) U (1, +infty)$, in questo caso $1$ è un candidato punto singolare dato che apparteneva al dominio della funzione di partenza ma non al dominio della derivata, e devo procedere alla sua classificazione cioè devo fare il limite per $x->1$ da destra e da sinistra della derivata per stabilire, in base ai risultati ottenuti, se si tratta di cuspide, punto angoloso o punto a tangente verticale giusto?...
spero di essere stato chiaro
Oddio spero di interpretare bene il tuo pensiero
Sì, è corretto, in realtà potremmo parlare di funzione continua a destra in 0 se è finito il limite [tex]\lim_{x\to 0^+} f(x)=L[/tex]. basta definire [tex]f(0)=L[/tex], di conseguenza potremmo parlare di funzione derivabile a destra di 0 se esiste finito il limite:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x}[/tex]
Sì è corretto, non hai però messo in evidenza il fatto che può capitare che la derivata prima sia prolungabile con continuità nel punto in cui non è definita.
Spero di non aver cannato qualcosa
"_overflow_":
Si, si ma non era quello il problema, in pratica io volevo sapere come individuare i punti singolari...
In pratica la mia domanda era: i punti singolari sono quei punti in cui la derivata prima non esiste, però se ad esempio ho una funzione che ha come dominio $(0, +infty)$ e calcolando la derivata ottengo che il dominio delle derivata è $(0, +infty)$ dato che $0$ già non apparteneva al dominio della funzione non devo considerarlo come candidato punto singolare... giusto?
Sì, è corretto, in realtà potremmo parlare di funzione continua a destra in 0 se è finito il limite [tex]\lim_{x\to 0^+} f(x)=L[/tex]. basta definire [tex]f(0)=L[/tex], di conseguenza potremmo parlare di funzione derivabile a destra di 0 se esiste finito il limite:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x}[/tex]
"_overflow_":
mentre se ho che il dominio della funzione di partenza è $(0, +infty)$ e il dominio della derivata prima è $(0, 1) U (1, +infty)$, in questo caso $1$ è un candidato punto singolare dato che apparteneva al dominio della funzione di partenza ma non al dominio della derivata, e devo procedere alla sua classificazione cioè devo fare il limite per $x->1$ da destra e da sinistra della derivata per stabilire, in base ai risultati ottenuti, se si tratta di cuspide, punto angoloso o punto a tangente verticale giusto?...
spero di essere stato chiaro
Sì è corretto, non hai però messo in evidenza il fatto che può capitare che la derivata prima sia prolungabile con continuità nel punto in cui non è definita.
Spero di non aver cannato qualcosa
grazie mille 
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