Punti singolari
ciao a tutti... io ho questa equazione
$F(x,y,z)=y^2 z^{2n-1}-\prod_{i=1}^{2n+1} (x-a_i z)=0$ dove $n$ è un intero positivo e poi $a_i !=a_j$ se $i!=j$...
devo trovare i punti che annullano il gradiente cioè i punti tali che
$\frac{\partial F}{\partial x}=0$
$\frac{\partial F}{\partial y}=0$
$\frac{\partial F}{\partial z}=0$
grazie a chi mi da una mano.
$F(x,y,z)=y^2 z^{2n-1}-\prod_{i=1}^{2n+1} (x-a_i z)=0$ dove $n$ è un intero positivo e poi $a_i !=a_j$ se $i!=j$...
devo trovare i punti che annullano il gradiente cioè i punti tali che
$\frac{\partial F}{\partial x}=0$
$\frac{\partial F}{\partial y}=0$
$\frac{\partial F}{\partial z}=0$
grazie a chi mi da una mano.
Risposte
Premetto che non ho risolto il problema, ma ti dico dove sono arrivato.
$grad F(x,y,z)=grad(y^2z^(2n-1))-grad(prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))$.
Dunque
$grad F(x,y,z)=0$ sse $grad(y^2z^(2n-1))=(0,2yz^(2n-1),(2n-1)y^2z^(2(n-1)))=grad(prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))$.
Poichè il membro a destra dell'equazione non dipende da $y$, i punti che annullano il gradiente hanno $y=0$.
Calcoliamo ora
$(del)/(delx)prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)=sum_(k=1)^(2n+1) prod_(stackrel(j<=2n+1)(j ne k)) (x-a_jz)=sum_(k=1)^(2n+1) (prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))/(x-a_kz)=prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz) sum_(k=1)^(2n+1) 1/ (x-a_kz)$;
$(del)/(dely)prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)=0$
$(del)/(delz)prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)=-sum_(k=1)^(2n+1) prod_(stackrel(j<=2n+1)(j ne k)) a_k(x-a_jz)=-sum_(k=1)^(2n+1) (a_kprod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))/(x-a_kz)=-prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz) sum_(k=1)^(2n+1) a_k / (x-a_kz)$
Il vettore gradiente è allora
$grad(prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))=(prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz) sum_(k=1)^(2n+1) 1/ (x-a_kz),0,-prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz) sum_(k=1)^(2n+1) a_k / (x-a_kz))$
Dovrebbe quindi annullarsi $prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)$. Sembrerebbe dunque che i punti cercati siano nella forma $(a_iz,0,z)$, con $z in RR$.
Purtroppo non è così, perchè all'annullarsi di $prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)$ si annulla anche uno dei denominatori delle frazioni $sum_(k=1)^(2n+1) 1/ (x-a_kz)$ e $sum_(k=1)^(2n+1) a_k / (x-a_kz)$.
Purtroppo non ho tempo di proseguire. A mio avviso bisognerebbe indagare sulla nullità delle sommatorie; quando avrò più tempo ci penserò un pò su (anche se sicuramente tu o qualcun'altro avrete risolto il problema). Intanto spero di esserti stato utile.
Ciao.
$grad F(x,y,z)=grad(y^2z^(2n-1))-grad(prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))$.
Dunque
$grad F(x,y,z)=0$ sse $grad(y^2z^(2n-1))=(0,2yz^(2n-1),(2n-1)y^2z^(2(n-1)))=grad(prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))$.
Poichè il membro a destra dell'equazione non dipende da $y$, i punti che annullano il gradiente hanno $y=0$.
Calcoliamo ora
$(del)/(delx)prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)=sum_(k=1)^(2n+1) prod_(stackrel(j<=2n+1)(j ne k)) (x-a_jz)=sum_(k=1)^(2n+1) (prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))/(x-a_kz)=prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz) sum_(k=1)^(2n+1) 1/ (x-a_kz)$;
$(del)/(dely)prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)=0$
$(del)/(delz)prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)=-sum_(k=1)^(2n+1) prod_(stackrel(j<=2n+1)(j ne k)) a_k(x-a_jz)=-sum_(k=1)^(2n+1) (a_kprod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))/(x-a_kz)=-prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz) sum_(k=1)^(2n+1) a_k / (x-a_kz)$
Il vettore gradiente è allora
$grad(prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz))=(prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz) sum_(k=1)^(2n+1) 1/ (x-a_kz),0,-prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz) sum_(k=1)^(2n+1) a_k / (x-a_kz))$
Dovrebbe quindi annullarsi $prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)$. Sembrerebbe dunque che i punti cercati siano nella forma $(a_iz,0,z)$, con $z in RR$.
Purtroppo non è così, perchè all'annullarsi di $prod_(i=1)^(2n+1)(x-a_iz)$ si annulla anche uno dei denominatori delle frazioni $sum_(k=1)^(2n+1) 1/ (x-a_kz)$ e $sum_(k=1)^(2n+1) a_k / (x-a_kz)$.
Purtroppo non ho tempo di proseguire. A mio avviso bisognerebbe indagare sulla nullità delle sommatorie; quando avrò più tempo ci penserò un pò su (anche se sicuramente tu o qualcun'altro avrete risolto il problema). Intanto spero di esserti stato utile.
Ciao.
non sono riuscito ad andare avanti...con il tuo procedimento non riesco ad arrivare tanto lontano...
Prima di buttarmi a fare conti volevo essere sicuro dell'oggetto della richiesta.
Non si tratta di trovare tutti i punti stazionari di $F$ ma quelli in cui anche $F$ fa zero- giusto?
Non si tratta di trovare tutti i punti stazionari di $F$ ma quelli in cui anche $F$ fa zero- giusto?
Va beh - mi butto lo stesso dando per buono che la risposta alla mia domanda precedente sia affermativa.
Suppongo anche che $n\geq 1$ e che gli $a_i$ siano tutti diversi da zero (altrimenti bisogna vedere).
Mi pare allora che i punti critici siano solo $(0,y,0)$, per $y$ in $RR$. Infatti
${\partial F}/{\partial x}(x,y,z)=-\sum_{j=1}^{2n+1} \prod_{j\ne i=1...2n+1}(x-a_i z)$
${\partial F}/{\partial y}(x,y,z)=2yz^{2n-1}$
${\partial F}/{\partial z}(x,y,z)=(2n-1)y^2 z^{2n-2}+\sum_{j=1}^{2n+1} a_j \prod_{j\ne i=1...2n+1}(x-a_i z)$
Annullando la derivata rispetto a $y$ ottieniamo che $yz=0$, condizione che messa in $F(x,y,z)=0$ da
$\prod_{i=1}^{2n+1}(x-a_iz)=0$.
Per annullare il prodotto deve essere nullo un fattore, diciamo che $x-a_kz=0$ per un $k$ tra $1$ e $2n+1$ . Allora $x=a_kz$.
Chiaramente se $z=0$ se ne deduce $x=0$ e si vede subito che $(0,y,0)$ verifica tutte le condizioni. Consideriamo allora
$z\ne 0$; questo implica che i fattori $x-a_iz$ risultano eguali a $(a_k-a_i)z\ne 0$ per $i\ne k$. Annullando la derivata rispetto a $x$
possiamo notare che tutti gli addendi della sommatoria sono nulli se $j\ne k$ dato che la corrispondente produttoria
contiene il fattore $k$-esimo che è nullo. Quindi dall'annullamento di ${\partial F}/{\partial x}$
$0=z\prod_{k\nei=1...2n+1}(a_k-a_i)\ne 0$ IMPOSSIBILE
Mi accorgo tra l'altro che la derivata rispetto a $z$ non è servita in questo ragionamento.
Suppongo anche che $n\geq 1$ e che gli $a_i$ siano tutti diversi da zero (altrimenti bisogna vedere).
Mi pare allora che i punti critici siano solo $(0,y,0)$, per $y$ in $RR$. Infatti
${\partial F}/{\partial x}(x,y,z)=-\sum_{j=1}^{2n+1} \prod_{j\ne i=1...2n+1}(x-a_i z)$
${\partial F}/{\partial y}(x,y,z)=2yz^{2n-1}$
${\partial F}/{\partial z}(x,y,z)=(2n-1)y^2 z^{2n-2}+\sum_{j=1}^{2n+1} a_j \prod_{j\ne i=1...2n+1}(x-a_i z)$
Annullando la derivata rispetto a $y$ ottieniamo che $yz=0$, condizione che messa in $F(x,y,z)=0$ da
$\prod_{i=1}^{2n+1}(x-a_iz)=0$.
Per annullare il prodotto deve essere nullo un fattore, diciamo che $x-a_kz=0$ per un $k$ tra $1$ e $2n+1$ . Allora $x=a_kz$.
Chiaramente se $z=0$ se ne deduce $x=0$ e si vede subito che $(0,y,0)$ verifica tutte le condizioni. Consideriamo allora
$z\ne 0$; questo implica che i fattori $x-a_iz$ risultano eguali a $(a_k-a_i)z\ne 0$ per $i\ne k$. Annullando la derivata rispetto a $x$
possiamo notare che tutti gli addendi della sommatoria sono nulli se $j\ne k$ dato che la corrispondente produttoria
contiene il fattore $k$-esimo che è nullo. Quindi dall'annullamento di ${\partial F}/{\partial x}$
$0=z\prod_{k\nei=1...2n+1}(a_k-a_i)\ne 0$ IMPOSSIBILE
Mi accorgo tra l'altro che la derivata rispetto a $z$ non è servita in questo ragionamento.
si bisogna cercarli tra i punti che annullano il differenziale e tali che $F=0$.. grazie mille per l'aiuto a entrambi
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