Punti max/min relativo funzioni a due variabili
Ciao a tutti raga ho un dubbio sello studio delgi estremi reltivi delle funzioni a 2 variabili.E soprattutto sullindagine sulle derivate seconde.Nel mio libro di teoria riporta che:
Se la forma quadratica associata all'hessiano è semidefinita positiva/semidefinita negativa allora $x_0$ è un punto di minimo relativo/massimo relativo.
Poi in un altro teorema mi dice:
Se la forma quadratica associata all'hessiano è definita positiva/Negativa allora il punto $x_0$ è un punto di minimo/massimo relativo.
Poi però guardando su un altro libro trovo scritto che:
se il determinate dell'Hessiano calcolato nel punto è uguale a $0$ allora significa che la forma quadratica associato all'hessiano è semidefinita ma in questo caso non possiamo dire nulla e bisogna procedere con la definizione di massimo o minimo relativo.
Io mi chiedo nel caso in cui la forma quadratica associato all'hessiano è semidefinita non mi basta calcolare gli autovalori per poi dire se è semidefinita positiva o negativa e concludere se è un punto di max o min in virtù dei 2 teoremi citai sopra; senza ricorrere alla definizione di estremo relativo?Sono troppo confuso.
Se la forma quadratica associata all'hessiano è semidefinita positiva/semidefinita negativa allora $x_0$ è un punto di minimo relativo/massimo relativo.
Poi in un altro teorema mi dice:
Se la forma quadratica associata all'hessiano è definita positiva/Negativa allora il punto $x_0$ è un punto di minimo/massimo relativo.
Poi però guardando su un altro libro trovo scritto che:
se il determinate dell'Hessiano calcolato nel punto è uguale a $0$ allora significa che la forma quadratica associato all'hessiano è semidefinita ma in questo caso non possiamo dire nulla e bisogna procedere con la definizione di massimo o minimo relativo.
Io mi chiedo nel caso in cui la forma quadratica associato all'hessiano è semidefinita non mi basta calcolare gli autovalori per poi dire se è semidefinita positiva o negativa e concludere se è un punto di max o min in virtù dei 2 teoremi citai sopra; senza ricorrere alla definizione di estremo relativo?Sono troppo confuso.
Risposte
"identikit_man":Falso, falso. Leggi meglio. Se la matrice Hessiana è solo semidefinita non ti dà molte informazioni sulla natura del punto. Se sai a priori che il punto è di massimo/minimo allora sai che l'Hessiana è semidefinita negativa/positiva rispettivamente, ma se sai solo che l'Hessiana è semidefinita sostanzialmente non sai niente. Questo corrisponde, per funzioni di una variabile, al caso in cui $f'(x_0)=0$ ma anche $f''(x_0)=0$ e allora non hai informazioni sulla natura del punto $x_0$. In una variabile puoi risolvere studiando la derivata terza, ma in più variabili la derivata terza diventa una cosa molto complicata.
Se la forma quadratica associata all'hessiano è semidefinita positiva/semidefinita negativa allora $x_0$ è un punto di minimo relativo/massimo relativo.
Scrivo esattamente le ipotesi e la tesi del teorema:
Siano $A$ un aperto di $R^n$;$x_0$ punto di $A$ e $f: A \to R$ una funzione di classe $C^2(A)$.Supponiamo che
1.$\gradf(x_0)=0$
2.La forma quadratica associata all'hessiano sia semidefinita positiva in $A$
allora $x_0$ è un punto di minimo relativo per $f$ in $A$.
Questo è quello che riporta il teorema sul mio libro.
Siano $A$ un aperto di $R^n$;$x_0$ punto di $A$ e $f: A \to R$ una funzione di classe $C^2(A)$.Supponiamo che
1.$\gradf(x_0)=0$
2.La forma quadratica associata all'hessiano sia semidefinita positiva in $A$
allora $x_0$ è un punto di minimo relativo per $f$ in $A$.
Questo è quello che riporta il teorema sul mio libro.
Non è possibile: sono entrambe condizioni necessarie, non sufficienti. Condizione sufficiente è invece che la matrice hessiana sia definita positiva/negativa, non soltanto semidefinita.
In questa forma il teorema è corretto, ma la seconda ipotesi richiede che uno verifichi che la forma quadratica sia semipositiva in tutto $A$ (o almeno in tutto un intorno di $x_0$), non solo nel punto $x_0$.
Infatti, se tale forma quadratica è semidefinita positiva in $B_r(x_0)$, allora $f$ è convessa in $B_r(x_0)$, e dunque la prima ipotesi diviene sufficiente affinché $x_0$ sia punto di minimo.
Infatti, se tale forma quadratica è semidefinita positiva in $B_r(x_0)$, allora $f$ è convessa in $B_r(x_0)$, e dunque la prima ipotesi diviene sufficiente affinché $x_0$ sia punto di minimo.
Interessante! Non ci avevo mai pensato.
Accidenti, mi sa che devo sbrigarmi a studiare 
Ma quando allora il fatto che la matrice è semidefinita è solo necessario e non sufficiente?
Ma quando allora il fatto che la matrice è semidefinita è solo necessario e non sufficiente?
"Antimius":
Ma quando allora il fatto che la matrice è semidefinita è solo necessario e non sufficiente?
Lo è quando la richiesta è solo puntuale, come puoi verificare ad esempio considerando la funzione
$f(x,y) = x^2-y^4$
nell'origine.
Aah, giusto! Ti ringrazio 
Quindi questo teorema praticamente a che serve?Nella pratica.....
Esempio banale.
Considera la funzione $f(x,y) = x^2 + y^4$ (per la quale bisogna supporre di essere abbastanza tonti da non accorgersi subito che ha un minimo nell'origine).
L'unico punto stazionario è l'origine.
La matrice hessiana è $f(x,y) = ((2, 0),(0, 12 y^2))$ ed è quindi semidefinita positiva su tutto $\mathbb{R}^2$.
Di conseguenza l'origine è punto di minimo.
Considera la funzione $f(x,y) = x^2 + y^4$ (per la quale bisogna supporre di essere abbastanza tonti da non accorgersi subito che ha un minimo nell'origine).
L'unico punto stazionario è l'origine.
La matrice hessiana è $f(x,y) = ((2, 0),(0, 12 y^2))$ ed è quindi semidefinita positiva su tutto $\mathbb{R}^2$.
Di conseguenza l'origine è punto di minimo.
Ok tutto chiaro; quindi se in un esercizio trovo che la matrice hessiana è sempre semidedfinita positiva o negativa indipendentemente dal punto; posso concludere ke quel punto è un punto di minimo o massimo assoluto.
C'è in modo su Maple per riuscire a trovare i punti di mino/massimo relativo; magari mediante una rappresentazione della funzione?
C'è in modo su Maple per riuscire a trovare i punti di mino/massimo relativo; magari mediante una rappresentazione della funzione?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo