Punti isolati, massimi e minimi
Buongiorno,
avrei una domanda fondamentalmente teorica.
I punti isolati possono essere massimi e minimi sia assoluti che relativi di una funzione?
Per quanto riguarda i massimi e i minimi assoluti mi sembra di capire di sì.
Prendiamo come esempio una funzione definita come f(x) = x^2 se x diverso da 0, -4 se x = 0.
In questo -4 è il minimo della funzione, perché la funzione è maggiore di -4 per qualunque valore di x del suo dominio.
Cosa succede per quanto riguarda i massimi / minimi relativi?
La definizione dice che xo è un punto di minimo (massimo) relativo se esiste un intorno di xo tale che per qualunque x appartenete all'intorno di xo intersecato al dominio di f, si ha che f(x) è maggiore (minore) o uguale di f(xo)
Se noi consideriamo una funzione che va da un insieme di punti a R (ex f: {1, 3, 6} ->R, con (per esempio) f(x) = x^2, possiamo quindi dire che ogni punto della funzione è un massimo e un minimo relativo?
Si può dire una cosa del genere delle successioni?
Vi ringrazio molto.
avrei una domanda fondamentalmente teorica.
I punti isolati possono essere massimi e minimi sia assoluti che relativi di una funzione?
Per quanto riguarda i massimi e i minimi assoluti mi sembra di capire di sì.
Prendiamo come esempio una funzione definita come f(x) = x^2 se x diverso da 0, -4 se x = 0.
In questo -4 è il minimo della funzione, perché la funzione è maggiore di -4 per qualunque valore di x del suo dominio.
Cosa succede per quanto riguarda i massimi / minimi relativi?
La definizione dice che xo è un punto di minimo (massimo) relativo se esiste un intorno di xo tale che per qualunque x appartenete all'intorno di xo intersecato al dominio di f, si ha che f(x) è maggiore (minore) o uguale di f(xo)
Se noi consideriamo una funzione che va da un insieme di punti a R (ex f: {1, 3, 6} ->R, con (per esempio) f(x) = x^2, possiamo quindi dire che ogni punto della funzione è un massimo e un minimo relativo?
Si può dire una cosa del genere delle successioni?
Vi ringrazio molto.
Risposte
Riguardo alla funzione che hai scritto:
$ f:{1,3,6}->RR ; f(x)=x^2 $
non vale certamente perché il più piccolo intorno simmetrico es. di $ 1 $ con intersezione al dominio della funzione non nulla deve contenere $3$, rendendo non valida la tua proposizione.
$ f:{1,3,6}->RR ; f(x)=x^2 $
non vale certamente perché il più piccolo intorno simmetrico es. di $ 1 $ con intersezione al dominio della funzione non nulla deve contenere $3$, rendendo non valida la tua proposizione.
Perché deve contenere 3?
Io pensavo che un intorno di raggio (per esempio) 1/2 di 1, nel caso sopra citato, contiene certamente 1 (quindi l'intorno non è vuoto), ma 1 è anche un elemento del domf, quindi l'intersezione tra il suo intorno e il dominio della funzione è appunto il punto 1.
Io pensavo che un intorno di raggio (per esempio) 1/2 di 1, nel caso sopra citato, contiene certamente 1 (quindi l'intorno non è vuoto), ma 1 è anche un elemento del domf, quindi l'intersezione tra il suo intorno e il dominio della funzione è appunto il punto 1.
"Eclipto":
I punti isolati possono essere massimi e minimi sia assoluti che relativi di una funzione?
Certamente un punto isolato può essere un estremo assoluto (il tuo esempio però non va: $x=0$ non è isolato per il dominio della tua funzione, che è tutto $RR$).
Invece, i punti isolati del dominio di $f$ - diciamo $"Dom" f\subseteq RR$ - sono in ogni caso dei punti di estremo locale (in particolare, sono contemporaneamente sia minimi che massimi locali).
Di fatto se $x_0\in "Dom" f$ è isolato, per definizione, esiste un intorno $U$ di $x_0$ la cui intersezione con $"Dom"f$ è ridotta al solo $x_0$. E' chiaro quindi che ogni punto $x\in U\cap "Dom" f=\{x_0\}$ soddisfa alle disuguaglianze
\[f(x)\le f(x_0)\qquad f(x)\ge f(x_0)\]
Insomma, basta applicare le definizioni
Grazie tante, hai ragione il primo esempio non c'entra nulla 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo