Punti in cui la funzione si annulla e discontinuità
Avrei un problema con questa funzione:
$f(x)=(x-3)/(x+1)+log|1+x|$
si chiede il numero dei punti, qualora esistano, in cui la funzione si annulla e poi di capire se c'è discontinuità ed in caso affermativo di che tipo...
Per quanto riguarda i punti in cui si annulla ho cercato di disegnare il grafico del logaritmo tenendo conto del valore assoluto e poi ho disegnato l'iperbole per la frazione... da lì le due funzioni si incontrano il due punti e quindi direi che $x$ si annulla per qualche valore che si trova tra $x<=3$ e $x>1$ ovviamente osservando il grafico perché i punti precisi non li riesco a trovare!
Per la discontinuità mi sono trovata in difficoltà: (il campo di definizione è $x!=-1)
$lim_(x->-1^-)((x-3)/(x+1)+log|1+x|)$
E ho pensato: la frazione il numeratore è sempre negativo mentre il sotto tende a $0^-$ di conseguenza la frazione tende a $+oo$
Per il logaritmo ho che il valore assoluto tende a $0^-$ e quindi il logaritmo tende a $-oo$
Quindi avrei il limite di $+oo-oo$... e direi (penso anche erroneamente perché è una forma indeterminata) che il limite non esiste...
Ho il presentimento che questi ragionamenti siano errati... Mi potreste correggere?
Stessa cosa per $lim_(x->-1^+)((x-3)/(x+1)+log|1+x|)$
La frazione dovrebbe tendere a $+oo$ mentre il logaritmo a $-oo$ ... da qui gli stessi problemi del limite precedente...
Mi potreste correggere dando anche una spiegazione per favore?
(su matematicamente c'è qualche spiegazione/esercizio per risolvere questo tipo di limiti?) Così poi studio meglio questo argomento...
$f(x)=(x-3)/(x+1)+log|1+x|$
si chiede il numero dei punti, qualora esistano, in cui la funzione si annulla e poi di capire se c'è discontinuità ed in caso affermativo di che tipo...
Per quanto riguarda i punti in cui si annulla ho cercato di disegnare il grafico del logaritmo tenendo conto del valore assoluto e poi ho disegnato l'iperbole per la frazione... da lì le due funzioni si incontrano il due punti e quindi direi che $x$ si annulla per qualche valore che si trova tra $x<=3$ e $x>1$ ovviamente osservando il grafico perché i punti precisi non li riesco a trovare!
Per la discontinuità mi sono trovata in difficoltà: (il campo di definizione è $x!=-1)
$lim_(x->-1^-)((x-3)/(x+1)+log|1+x|)$
E ho pensato: la frazione il numeratore è sempre negativo mentre il sotto tende a $0^-$ di conseguenza la frazione tende a $+oo$
Per il logaritmo ho che il valore assoluto tende a $0^-$ e quindi il logaritmo tende a $-oo$
Quindi avrei il limite di $+oo-oo$... e direi (penso anche erroneamente perché è una forma indeterminata) che il limite non esiste...
Ho il presentimento che questi ragionamenti siano errati... Mi potreste correggere?
Stessa cosa per $lim_(x->-1^+)((x-3)/(x+1)+log|1+x|)$
La frazione dovrebbe tendere a $+oo$ mentre il logaritmo a $-oo$ ... da qui gli stessi problemi del limite precedente...
Mi potreste correggere dando anche una spiegazione per favore?
(su matematicamente c'è qualche spiegazione/esercizio per risolvere questo tipo di limiti?) Così poi studio meglio questo argomento...
Risposte
Spero ti serva ancora una mano..
Non mi trovo con te sul numero dei punti in cui la funzione si annulla..
Io ho trovato un'unica intersezione per $x\in(1,3/2)$
Per quanto riguarda i due grafici da confrontare ti trovi che devi valutare
$g(x)=(x-3)/(x+1)$ e $h(x)=-log|1+x|$
oppure equivalentemente
$g(x)=-(x-3)/(x+1)$ e $h(x)=log|1+x|$
?
Io facendo così mi trovo un valore.
Per quanto riguarda il resto..
Questo è sbagliato non è detto che una forma indeterminata non ti dia un valore, anzi puo' essere anche un valore finito.
Ma non è questo il caso, qui il limite esiste e vale $+infty$
Ma lasciando anche perdere questo calcolo che puo' essere difficile se guardi l'altro limite, lì hai commesso un errore:
Qui la frazione tende a $-infty$ in quanto il numeratore è negativo e il denominatore è positivo e quindi tutto il limite vale $-infty$
Da qui è facile capire il tipo di discontinuità
Non mi trovo con te sul numero dei punti in cui la funzione si annulla..
Io ho trovato un'unica intersezione per $x\in(1,3/2)$
Per quanto riguarda i due grafici da confrontare ti trovi che devi valutare
$g(x)=(x-3)/(x+1)$ e $h(x)=-log|1+x|$
oppure equivalentemente
$g(x)=-(x-3)/(x+1)$ e $h(x)=log|1+x|$
?
Io facendo così mi trovo un valore.
Per quanto riguarda il resto..
"Yuuki Kuran":
Quindi avrei il limite di $+oo-oo$... e direi (penso anche erroneamente perché è una forma indeterminata) che il limite non esiste...
Questo è sbagliato non è detto che una forma indeterminata non ti dia un valore, anzi puo' essere anche un valore finito.
Ma non è questo il caso, qui il limite esiste e vale $+infty$
Ma lasciando anche perdere questo calcolo che puo' essere difficile se guardi l'altro limite, lì hai commesso un errore:
"Yuuki Kuran":
Stessa cosa per $lim_(x->-1^+)((x-3)/(x+1)+log|1+x|)$
La frazione dovrebbe tendere a $+oo$ mentre il logaritmo a $-oo$
Qui la frazione tende a $-infty$ in quanto il numeratore è negativo e il denominatore è positivo e quindi tutto il limite vale $-infty$
Da qui è facile capire il tipo di discontinuità
Ma certo che mi interessa ancora! 
In più grazie leena per avermi aiutata, oltre al fatto di aver ripreso questo topic!
Allora per gli asintoti adesso va tutto ok e la tua spiegazione a riguardo è anche molto chiara!
Per la discontinuità quindi è di seconda specie!
L'unica cosa che non ho capito è come si fa a trovare l'intersezione $x\in(1,3/2)$](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Non so come fare, $h(x)=-log|1+x|$ si annulla in $x=0$ e $x=-2$ mentre la frazione $g(x)=(x-3)/(x+1)$ si annulla in $x=3$ ... ma $(x-3)/(x+1)+log|1+x|$ non riesco proprio a capire come bisogna fare
In più grazie leena per avermi aiutata, oltre al fatto di aver ripreso questo topic!Allora per gli asintoti adesso va tutto ok e la tua spiegazione a riguardo è anche molto chiara!
Per la discontinuità quindi è di seconda specie!
L'unica cosa che non ho capito è come si fa a trovare l'intersezione $x\in(1,3/2)$
Non so come fare, $h(x)=-log|1+x|$ si annulla in $x=0$ e $x=-2$ mentre la frazione $g(x)=(x-3)/(x+1)$ si annulla in $x=3$ ... ma $(x-3)/(x+1)+log|1+x|$ non riesco proprio a capire come bisogna fare
Il trucco è fare lo studio di quelle due funzioni, e sovrapporre i grafici, cercando di capire le eventuali intersezioni..
Gli eventuali punti in cui le due curve si intersecano sono i punti in cui si annulla la tua funzione di partenza!
Gli eventuali punti in cui le due curve si intersecano sono i punti in cui si annulla la tua funzione di partenza!
hai studiato la derivata prima?
la funzione dovrebbe essere decrescente in (-oo, -5) e crescente in (-5, -1) e in (-1, +oo). ha un minimo relativo in x=-5, il cui valore della funzione è positivo.
dunque è sempre positiva in (-oo, -1), è strettamente crescente in (-1, +oo), e conoscendo i limiti a -1+ e a +oo il teorema dei valori intermedi ti assicura che la funzione assume almeno una volta tutti i valori reali, e la stretta monotonia che ciascun valore reale è assunto una sola volta in (-1, +oo), tra cui anche lo zero. quindi la funzione si annulla una ed una sola volta: per trovare il valore approssimato si ricorre a metodi iterativi.
spero sia chiaro. ciao.
la funzione dovrebbe essere decrescente in (-oo, -5) e crescente in (-5, -1) e in (-1, +oo). ha un minimo relativo in x=-5, il cui valore della funzione è positivo.
dunque è sempre positiva in (-oo, -1), è strettamente crescente in (-1, +oo), e conoscendo i limiti a -1+ e a +oo il teorema dei valori intermedi ti assicura che la funzione assume almeno una volta tutti i valori reali, e la stretta monotonia che ciascun valore reale è assunto una sola volta in (-1, +oo), tra cui anche lo zero. quindi la funzione si annulla una ed una sola volta: per trovare il valore approssimato si ricorre a metodi iterativi.
spero sia chiaro. ciao.
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