Punti equidistanti da una curva

[marcorossi94]

In $RR^2$
Prendo una curva $C$, fisso $d>0$. Com'è fatto l'insieme di tutti i punti che distano $d$ da $C$?

Con una retta sono due rette
Con una circonferenza sono due circonferenze.

Ma in generale?

[anto_zoolander]

Supponi che tu voglia generalizzare il concetto per le curve in $RR^2$

Considera $phi:J->RR^2$ una curva, prendiamola differenziabile in $J$ e fissiamo una quantità $d$.

puoi notare come esistano solo due punti $P,P' in RR^2$ per cui la distanza dalla curva sia $d$ e sono esattamente i punti che si trovano sulla normale alla tangente in $phi(t)$ aventi distanza $d$

se $phi'(t)=(x'(t),y'(t))$ è il vettore tangente e $hat(n)(t)=(-y'(t),x'(t))$ il vettore normale.
Chiamiamo $T(t)=(hat(n)(t))/(||hat(n)(t)||)$ il versore tangente. Allora è chiaro che

$hat(n)(t)=d*T(t)$ è un vettore normale alla curva di lunghezza $d$.

Allora chiaramente $phi(t)+hat(n)(t)=P(t)$ è un punto che sta a distanza $d$ dalla curva.
Allo stesso tempo hai anche trovato un modo per calcolare tutti i punti e anche

$phi(t)-hat(n)(t)=P(t)$

risolverà il problema.

ammaccabanane

[Mathita]

$T(t)$ per come è definito dovrebbe essere il versore normale, no? Poi bisognerebbe capire come comportarsi agli estremi della curva se questa è limitata ma non chiusa. Potremmo aggiustare le cose costruendo delle opportune semicirconferenze con centro agli estremi e raggio pari alla distanza richiesta (?).

[dissonance]

"anto_zoolander":
puoi notare come esistano solo due punti $P,P' in RR^2$ per cui la distanza dalla curva sia $d$ e sono esattamente i punti che si trovano sulla normale alla tangente in $phi(t)$ aventi distanza $d$

Questa frase non significa niente. In ogni caso, interpretando quello che vuoi dire, credo che non sia così semplice come stai pensando. Per esempio, se \(d\) è più grande del raggio della circonferenza, i punti dello spazio che distano \(d\) dalla circonferenza formano UNA SOLA circonferenza più grande. Se \(d\) è esattamente uguale al raggio della circonferenza, si ottiene una circonferenza di raggio doppio e un punto isolato, nel centro.

Questi problemi possono facilmente diventare piuttosto complicati. Le parole chiave sono "cut locus" e "tubular neighborhood".

[Mathita]

"dissonance":Per esempio, se \(d\) è più grande del raggio della circonferenza, i punti dello spazio che distano \(d\) dalla circonferenza formano UNA SOLA circonferenza più grande.

@Dissonance, questa cosa non mi convince molto. Se d è maggiore del raggio di $C$ [edit] e minore del diametro[/edit], ottengo comunque due luoghi geometrici distinti, una circonferenza esterna e una interna. (È possibile che mi stia sbagliando, non ho ancora preso il terzo caffè). Cosa mi perdo?

[strike][Edit](mi sono accorto ora che stai lavorando nello spazio e non nel piano. Se sono nello spazio, i punti che distano d con $0

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[dissonance]

Guarda, metti il dito nella piaga, io oggi di caffé ne ho preso SOLO UNO, per motivi indipendenti dalla mia volontà. Inoltre mi sono svegliato presto, sempre per colpa del destino, sotto forma di autobus che passa solo la mattina presto. In conclusione, se mi sono impappinato tra diametro e raggio, o se mi sono impappinato in generale, non mi sorprende.

Comunque, quello che voglio dire è che se prendi una circonferenza di raggio \(1\), e prendi \(d=\text{cento milioni}\), allora i punti che distano \(d\) dalla circonferenza formano una circonferenza sola, e non due, come ci si poteva aspettare.

[Mathita]

Forse ho capito, sono un demente. Ho completamente sorvolato sulla definizione di distanza tra luoghi geometrici. A conti fatti, con il metodo proposto da anto_zoolander applicato a una circonferenza $C$ di raggio $r>0$ si possono verificare i seguenti casi:

- se $0
- se $d>r$ allora si formano sì due circonferenze, ma una sola è quella che ci interessa perché l'altra ha una distanza da $C$ inferiore a $d$.

Mia definizione di distanza tra luoghi $C_1,C_2$:

$D(C_1,C_2)=\mbox{inf}\{\||x-y\||, x\in C_1, y\in C_2\}$

Argomento subdolo e infido.

[anto_zoolander]

"dissonance":Questa frase non significa niente

con 'sto non significa niente..
Ho erroneamente pensato a tutt'altra cosa, avevo preso solo un caffè
[ot]il tuo odio nei miei confronti è direttamente proporzionale al tempo passato dalla mia iscrizione al forum [/ot]