Punti di tangenza di un ellissoide

[acvtre]

Mi sembra di perdermi in un bicchier d'acqua, per cui vi chiedo un aiutino per risolvere questo facile problema.

Si trovino i punti dell'ellissoide $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1$;
nei quali il piano tangente è parallelo al piano di equazione $3x-y+3z = 1$

Allora, dal piano ricavo $(3,-1,3)^t$ che dovrebbe essere la retta normale. Da ciò potrei ricavare una generica famiglia di piani tutti paralleli.
Per trovare ciò che voglio applico un generico punto, appartenente all'ellissoide, $(f(y,z),y,z)$

Fatto ciò, se metto a sistema con l'ellissoide non ne ricavo niente.

Cosa mi manca nel ragionamento?

[acvtre]

Però la soluzione non corrisponde. Secondo il testo dovrebbe essere: $+(5)^(-1/2)(-6,1,-2)^t$ E infatti anche a me risulta così ora.

Vediamo se ho capito correttamente.
L'equazione dell'ellissoide è un insieme di livello, per cui il gradiente uguale individua la retta normale ad un generico punto dell'ellissoide. Tramite la condizione di parallelismo parametrizzo tutto in funzione di lamba e trovo solamente le rette con quel coefficiente angolare perpendicolari all'ellissoide.
Quindi mettendo a sistema trovo i punti d'intersezione.