Punti di non derivabilità.

[billytalentitalianfan]

Devo studiare il comportamento di $ f: x -> $
${x^2+1 $ se $x>=0 $
${e^x-x $ se $ x<0$

nel punto $x=0$ .

Ora, calcolando il limite da dx e da sx ho che è continua in x=0.

Andando a calcolare il limite del rapporto incrementale:
da dx ho che è uguale a $0$;
da sx ho $lim_(x->0)((e^x-x-1)/x)$ , che è una forma indeterminata!

Come mi comporto in questo e in casi simili?

[dissonance]

Forza, che quel limite lo sai risolvere. Ti sei scordato di $lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1$?

[billytalentitalianfan]

E già, lo avevo fatto eccome!

1)Ad ogni modo mi sembravano soddisfatte anche le condizioni per applicare De l'Hopital, no?

Colgo l'occasione per chiedere un chiarimento.

2)Al numeratore posso "non considerare" $-x$ e $-1$ in quanto infinitesimi di grado inferiore di $e^x$ e poi applicare lo stesso concetto con $e^x/x$ per avere zero?

Chiarito questo dubbio,
3)come potrei agire nel caso in cui non riuscissi a calcolare il limite del rapporto incrementale?

[darioilfragma]

"billytalentitalianfan":E già, lo avevo fatto eccome!

1)Ad ogni modo mi sembravano soddisfatte anche le condizioni per applicare De l'Hopital, no?

Colgo l'occasione per chiedere un chiarimento.

2)Al numeratore posso "non considerare" $-x$ e $-1$ in quanto infinitesimi di grado inferiore di $e^x$ e poi applicare lo stesso concetto con $e^x/x$ per avere zero?

Chiarito questo dubbio,
3)come potrei agire nel caso in cui non riuscissi a calcolare il limite del rapporto incrementale?

De L'Hospital è applicabile.
$e^x$ non è un infinitesimo per x->0.

[Seneca1]

"billytalentitalianfan":
2)Al numeratore posso "non considerare" $-x$ e $-1$ in quanto infinitesimi di grado inferiore di $e^x$ e poi applicare lo stesso concetto con $e^x/x$ per avere zero?

Al numeratore hai una differenza di due infinitesimi $e^x - 1$ e $x$. I due infinitesimi sono equivalenti, perciò il numeratore è di ordine superiore rispetto all'ordine di ciascuno degli infinitesimi ( $"ord"( e^x - 1 - x ) > "ord"( x )$ ).