Punti di non derivabilità.
Devo studiare il comportamento di $ f: x -> $
${x^2+1 $ se $x>=0 $
${e^x-x $ se $ x<0$
nel punto $x=0$ .
Ora, calcolando il limite da dx e da sx ho che è continua in x=0.
Andando a calcolare il limite del rapporto incrementale:
da dx ho che è uguale a $0$;
da sx ho $lim_(x->0)((e^x-x-1)/x)$ , che è una forma indeterminata!
Come mi comporto in questo e in casi simili?
${x^2+1 $ se $x>=0 $
${e^x-x $ se $ x<0$
nel punto $x=0$ .
Ora, calcolando il limite da dx e da sx ho che è continua in x=0.
Andando a calcolare il limite del rapporto incrementale:
da dx ho che è uguale a $0$;
da sx ho $lim_(x->0)((e^x-x-1)/x)$ , che è una forma indeterminata!
Come mi comporto in questo e in casi simili?
Risposte
Forza, che quel limite lo sai risolvere. Ti sei scordato di $lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1$?
E già, lo avevo fatto eccome!
1)Ad ogni modo mi sembravano soddisfatte anche le condizioni per applicare De l'Hopital, no?
Colgo l'occasione per chiedere un chiarimento.
2)Al numeratore posso "non considerare" $-x$ e $-1$ in quanto infinitesimi di grado inferiore di $e^x$ e poi applicare lo stesso concetto con $e^x/x$ per avere zero?
Chiarito questo dubbio,
3)come potrei agire nel caso in cui non riuscissi a calcolare il limite del rapporto incrementale?
1)Ad ogni modo mi sembravano soddisfatte anche le condizioni per applicare De l'Hopital, no?
Colgo l'occasione per chiedere un chiarimento.
2)Al numeratore posso "non considerare" $-x$ e $-1$ in quanto infinitesimi di grado inferiore di $e^x$ e poi applicare lo stesso concetto con $e^x/x$ per avere zero?
Chiarito questo dubbio,
3)come potrei agire nel caso in cui non riuscissi a calcolare il limite del rapporto incrementale?
"billytalentitalianfan":
E già, lo avevo fatto eccome!
1)Ad ogni modo mi sembravano soddisfatte anche le condizioni per applicare De l'Hopital, no?
Colgo l'occasione per chiedere un chiarimento.
2)Al numeratore posso "non considerare" $-x$ e $-1$ in quanto infinitesimi di grado inferiore di $e^x$ e poi applicare lo stesso concetto con $e^x/x$ per avere zero?
Chiarito questo dubbio,
3)come potrei agire nel caso in cui non riuscissi a calcolare il limite del rapporto incrementale?
De L'Hospital è applicabile.
$e^x$ non è un infinitesimo per x->0.
"billytalentitalianfan":
2)Al numeratore posso "non considerare" $-x$ e $-1$ in quanto infinitesimi di grado inferiore di $e^x$ e poi applicare lo stesso concetto con $e^x/x$ per avere zero?
Al numeratore hai una differenza di due infinitesimi $e^x - 1$ e $x$. I due infinitesimi sono equivalenti, perciò il numeratore è di ordine superiore rispetto all'ordine di ciascuno degli infinitesimi ( $"ord"( e^x - 1 - x ) > "ord"( x )$ ).