Punti di non derivabilità
Ciao a tutti.
L'esercizio mi chiede di determinare gli eventuali punti di non derivabilità della funzione $y=$ (a sistema) $2x+1$ per $x<=0$ e $root(3)((x-1)^2)$ per $x>0$ Ora io ho trovato solo x=0 in cui la funzione non è derivabile. Si tratta di un punto angoloso credo. Ci sono altri punti di non derivabilità?
L'esercizio mi chiede di determinare gli eventuali punti di non derivabilità della funzione $y=$ (a sistema) $2x+1$ per $x<=0$ e $root(3)((x-1)^2)$ per $x>0$ Ora io ho trovato solo x=0 in cui la funzione non è derivabile. Si tratta di un punto angoloso credo. Ci sono altri punti di non derivabilità?
Risposte
Anche $x=1$
ehm ok... perchè? 
$D(root3 ((x-1)^2))= 2/(3root3 (x-1))$, il dominio della funzione è diverso da quello della derivata, infatti in $x=1$ la funzione esiste, mentre la derivata no.
ora ho capito grazie 
Sono d'accordo sul risultato, ma non molto sul metodo usato da @melia.
Secondo questo metodo, anche la funzione $f(x) = x \sqrt{1-\cos(x)}$ risulterebbe non derivabile in $x=0$.
Secondo questo metodo, anche la funzione $f(x) = x \sqrt{1-\cos(x)}$ risulterebbe non derivabile in $x=0$.
Nel caso della funzione che hai segnalato la derivata avrà una discontinuità eliminabile, e quindi la funzione potrà essere resa derivabile sostituendo il valore 0 alla derivata nel punto in cui la funzione esiste e la derivata no.
Nel caso della funzione di Kevinvek questo non si verifica perché la derivata va a $oo$
Nel caso della funzione di Kevinvek questo non si verifica perché la derivata va a $oo$
Mi sembra un punto di vista quantomeno discutibile.
Se considero la solita funzione $f: RR\to RR$ definita da $f(0)=0$ e $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ per $x\ne 0$, come mi dovrei comportare?
In questo caso il limite della derivata prima per $x\to 0$ non esiste, eppure la funzione è derivabile nell'origine.
Se considero la solita funzione $f: RR\to RR$ definita da $f(0)=0$ e $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ per $x\ne 0$, come mi dovrei comportare?
In questo caso il limite della derivata prima per $x\to 0$ non esiste, eppure la funzione è derivabile nell'origine.
Ciò che farei io -e che mi permetto di consigliare a "kevinvek"- è questo:
Inizierei col capire dove la funzione è certamente derivabile.
Poi studierei caso per caso i punti che "danno problemi" con la definizione di derivata.
Nel caso della funzione proposta da "kevinvek" i punti un po' complicati sono $x=0$ e $x=1$. Per $x=0$ credo che avrà già risolto. Per $x=1$ con la definizione la funzione non è derivabile, perchè il limite del rapporto incrementale non è finito. Fine.
Nel caso della prima funzione proposta da "gac" con la definizione scoprirei che in $x=0$ la funzione è derivabile.
In alternativa, se non ricordo male, c'è un teorema che afferma che se in un punto esistono il limite destro e sinistro per $x\to x_0$ della derivata e sono uguali, allora la funzione è derivabile in $x_0$ (che è il risultato usato da "@melia", giusto?). Questo risultato non può essere usato nella seconda funzione proposta da "gac" perchè non sono verificate le ipotesi. E allora l'unica strada che mi viene in mente è quella di usare la defizione di derivata.
Ciao!
Inizierei col capire dove la funzione è certamente derivabile.
Poi studierei caso per caso i punti che "danno problemi" con la definizione di derivata.
Nel caso della funzione proposta da "kevinvek" i punti un po' complicati sono $x=0$ e $x=1$. Per $x=0$ credo che avrà già risolto. Per $x=1$ con la definizione la funzione non è derivabile, perchè il limite del rapporto incrementale non è finito. Fine.
Nel caso della prima funzione proposta da "gac" con la definizione scoprirei che in $x=0$ la funzione è derivabile.
In alternativa, se non ricordo male, c'è un teorema che afferma che se in un punto esistono il limite destro e sinistro per $x\to x_0$ della derivata e sono uguali, allora la funzione è derivabile in $x_0$ (che è il risultato usato da "@melia", giusto?). Questo risultato non può essere usato nella seconda funzione proposta da "gac" perchè non sono verificate le ipotesi. E allora l'unica strada che mi viene in mente è quella di usare la defizione di derivata.
Ciao!
Concordo con quanto scritto da "cirasa".
Dove si possono usare le regole di derivazione (derivata di somma, prodotto, composta, etc) la funzione è derivabile e la derivata può essere calcolata utilizzando le regole medesime.
Dove non si possono usare le regole di derivazione, lo studio della derivabilità va fatto con altri mezzi (e indubbiamente l'uso della definizione è certamente corretto).
Riguardo il teorema citato da "cirasa", occorre richiedere (oltre all'esistenza dei limiti sinistro e destro della derivata) che la funzione sia continua in $x_0$.
Dove si possono usare le regole di derivazione (derivata di somma, prodotto, composta, etc) la funzione è derivabile e la derivata può essere calcolata utilizzando le regole medesime.
Dove non si possono usare le regole di derivazione, lo studio della derivabilità va fatto con altri mezzi (e indubbiamente l'uso della definizione è certamente corretto).
Riguardo il teorema citato da "cirasa", occorre richiedere (oltre all'esistenza dei limiti sinistro e destro della derivata) che la funzione sia continua in $x_0$.
Grazie a "gac" per la precisazione sul teorema. 
E buono Studio a "Kevinvek" che ora ha tutti gli strumenti per risolvere esercizi analoghi. Naturalmente se avrà bisogno di ulteriori chiarimenti, noi siamo qui!
E buono Studio a "Kevinvek" che ora ha tutti gli strumenti per risolvere esercizi analoghi. Naturalmente se avrà bisogno di ulteriori chiarimenti, noi siamo qui!
Ringrazio gac e cirasa per aver formalizzato il teorema che io tranquillamente usavo avendolo ormai assorbito, ma che non ricordavo nella sua formulazione. Abbiate pazienza, ma sono passati 30 anni da quando ho fatto analisi.
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