Punti di minimo, massimo e sella funzioni in due variabili
svolgendo gli esercizi mi sono imbattuto in questi due casi:
$1)$ $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$
trovo che un punto stazionario è $x=0,y=0$ e
costruendo la matrice Hessiana
$H=[[-4,4],[4,-4]]$ e poichè $detH=0$ non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.
$2)$ $f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)$
trovo che i punti stazionari sono $(0,0)$ e $(1/2,1/3)$.
per $(1/2,1/3)$ ho calcolato che esso è un punto di massimo.
per $(0,0)$ trovo che la matrice Hessiana è
$H=[[0,0],[0,0]]$ e dunque $detH=0$.
anche in questo caso non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.
dunque la mia domanda è: in questi casi come si procede?
Grazie
$1)$ $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$
trovo che un punto stazionario è $x=0,y=0$ e
costruendo la matrice Hessiana
$H=[[-4,4],[4,-4]]$ e poichè $detH=0$ non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.
$2)$ $f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)$
trovo che i punti stazionari sono $(0,0)$ e $(1/2,1/3)$.
per $(1/2,1/3)$ ho calcolato che esso è un punto di massimo.
per $(0,0)$ trovo che la matrice Hessiana è
$H=[[0,0],[0,0]]$ e dunque $detH=0$.
anche in questo caso non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.
dunque la mia domanda è: in questi casi come si procede?
Grazie
Risposte
Ci sono metodi più o meno standard, anche se nessuno che si applichi in tutti i casi.
Li trovi sui testi di esercizi (ad esempio, c'è qualcosa sul Marcellini & Sbordone).
Li trovi sui testi di esercizi (ad esempio, c'è qualcosa sul Marcellini & Sbordone).
"gugo82":
Ci sono metodi più o meno standard, anche se nessuno che si applichi in tutti i casi.
Li trovi sui testi di esercizi (ad esempio, c'è qualcosa sul Marcellini & Sbordone).
dove potrei riperire il testo?
purtroppo le biblioteche sono chiuse .
Sul tuo testo/eserciziario? Non c’è nulla?
"gugo82":
Sul tuo testo/eserciziario? Non c’è nulla?
No purtroppo i libri per il secondo semestre non li hanno comunicati
In entrambi gli esercizi, poiché $f(0,0)=0$, l'origine è sicuramente un punto di sella. Infatti, nel primo esercizio:
e nel secondo:
Insomma, in un qualsiasi intorno dell'origine, in cui la funzione è nulla, quest'ultima assume valori opposti.
P.S.
Ovviamente, nel primo esercizio è sufficiente l'analisi lungo uno solo dei due assi.
Asse x
$\{(-sqrt2 lt= x lt= sqrt2),(y=0):} rarr f(x,0)=x^2(x^2-2) lt= 0$
Asse y
$\{(x=0),(-sqrt2 lt= y lt= sqrt2):} rarr f(0,y)=y^2(y^2-2) lt= 0$
Bisettrice 1° e 3° quadrante
$y=x rarr f(x,x)=2x^4 gt= 0$
e nel secondo:
Bisettrice 2° e 4° quadrante
$y=-x rarr f(x,-x)=x^5 rarr \{(x lt 0 rarr f(x,-x) lt 0),(x gt 0 rarr f(x,-x) gt 0):}$
Insomma, in un qualsiasi intorno dell'origine, in cui la funzione è nulla, quest'ultima assume valori opposti.
P.S.
Ovviamente, nel primo esercizio è sufficiente l'analisi lungo uno solo dei due assi.
"Aletzunny":
[quote="gugo82"]Sul tuo testo/eserciziario? Non c’è nulla?
No purtroppo i libri per il secondo semestre non li hanno comunicati[/quote]
E fatteli comunicare... Invia una mail al docente chiedendogli dei riferimenti.
"anonymous_0b37e9":
In entrambi gli esercizi, poiché $f(0,0)=0$, l'origine è sicuramente un punto di sella. Infatti, nel primo esercizio:
Asse x
$\{(-sqrt2 lt= x lt= sqrt2),(y=0):} rarr f(x,0)=x^2(x^2-2) lt= 0$
Asse y
$\{(x=0),(-sqrt2 lt= y lt= sqrt2):} rarr f(0,y)=y^2(y^2-2) lt= 0$
Bisettrice 1° e 3° quadrante
$y=x rarr f(x,x)=2x^4 gt= 0$
e nel secondo:
Bisettrice 2° e 4° quadrante
$y=-x rarr f(x,-x)=x^5 rarr \{(x lt 0 rarr f(x,-x) lt 0),(x gt 0 rarr f(x,-x) gt 0):}$
Insomma, in un qualsiasi intorno dell'origine, in cui la funzione è nulla, quest'ultima assume valori opposti.
P.S.
Ovviamente, nel primo esercizio è sufficiente l'analisi lungo uno solo dei due assi.
Grazie ma questo ragionamento delle bisettrici per determinare che $(0,0)$ è un punto di sella come funziona? Mi sono perso su quello.
Grazie
Non è un ragionamento "delle bisettrici"... Nel senso: non è un metodo generale.
Qual è la definizione di punto di sella che usi?
Qual è la definizione di punto di sella che usi?
"gugo82":
Non è un ragionamento "delle bisettrici"... Nel senso: non è un metodo generale.
Qual è la definizione di punto di sella che usi?
onestamente a lezione il punto di sella non è stato definito; quindi ho utilizzato la definizione che si trova sui siti di matematica: un punto di sella è un punto dove al variare delle direzioni si hanno diverse comportamenti per la restrizione della funzione. Dunque in un punto di sella ad esempio per una restrizione di vede che vi è un massimo mentre lungo un'altra direzione lo stesso punto è un minimo.
Ma come faccio a sapere che per forza esisterà un restrizione tale che ci siano sia minimi che massimi.
ma usando questa definizione (sbaglio di certo io) non mi trovo con la risoluzione dei due esercizi e soprattutto non capisco perchè è cosi importante che $f(0,0)=(0,0)$
Grazie
Grazie
In entrambi i casi, poiché $f(0,0)=0$ e, in un qualsiasi intorno dell'origine, la funzione assume valori di segno opposto, l'origine non può essere né un minimo, né un massimo. Ergo, l'origine è necessariamente un punto di sella.
"anonymous_0b37e9":
In entrambi gli esercizi, poiché $f(0,0)=0$, l'origine è sicuramente un punto di sella. Infatti, nel primo esercizio:
Asse x
$\{(-sqrt2 lt= x lt= sqrt2),(y=0):} rarr f(x,0)=x^2(x^2-2) lt= 0$
Asse y
$\{(x=0),(-sqrt2 lt= y lt= sqrt2):} rarr f(0,y)=y^2(y^2-2) lt= 0$
Bisettrice 1° e 3° quadrante
$y=x rarr f(x,x)=2x^4 gt= 0$
e nel secondo:
Bisettrice 2° e 4° quadrante
$y=-x rarr f(x,-x)=x^5 rarr \{(x lt 0 rarr f(x,-x) lt 0),(x gt 0 rarr f(x,-x) gt 0):}$
Insomma, in un qualsiasi intorno dell'origine, in cui la funzione è nulla, quest'ultima assume valori opposti.
P.S.
Ovviamente, nel primo esercizio è sufficiente l'analisi lungo uno solo dei due assi.
nel secondo esercizio usando $y=x$ troviamo una funzione con un minimo in $x=0$ mentre la seconda con $y=-x$ troviamo $y=x^5$ che non ha nè un minimo nè un massimo in $0$. Ma se $x>0$ allora $f$ è positiva e se $x<0$ allora $f$ è negativa.
Ma perchè allora posso dire che $(0,0)$ non è estremante per $f(x,y)$ ?
allo stesso modo non capisco il ragionamento fatto nel primo esercizio. perchè usando l'asse $x$ e l'asse $y$ e risolvendo la disequazione si riesce a dire che $(0,0)$ non è estremante?
questi aspetti non mi sono chiari
Ti rispondo proponendo l'esempio più semplice:
Premesso che l'origine è un punto critico, puoi provare a classificarlo senza utilizzare la matrice Hessiana.
$f(x,y)=xy$
Premesso che l'origine è un punto critico, puoi provare a classificarlo senza utilizzare la matrice Hessiana.
"anonymous_0b37e9":
Ti rispondo proponendo l'esempio più semplice:
$f(x,y)=xy$
Premesso che l'origine è un punto critico, puoi provare a classificarlo senza utilizzare la matrice Hessiana.
$y=x$ ottengo $f(x,x)=x^2$ che ha un minimo in $x=0$.
$y=-x$ ottengo $f(x,-x)=-x^2$ che ha un massimo in $x=0$
dunque $(0,0)$ è un punto di sella.
cosi intendi?
"Aletzunny":
... e soprattutto non capisco perché è cosi importante che $f(0,0)=0$ ...
Proprio perché:
$[f(x,y)=xy] rarr [f(0,0)=0]$
1° e 3° quadrante
$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) gt 0]$
2° e 4° quadrante
$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) lt 0]$
l'origine è un punto di sella. Insomma, poiché, in un qualsiasi intorno dell'origine, la funzione assume valori sia minori che maggiori del valore assunto dalla funzione nell'origine medesima, almeno in questo caso non è necessaria alcuna restrizione.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Aletzunny"]
... e soprattutto non capisco perché è cosi importante che $f(0,0)=0$ ...
Proprio perché:
$[f(x,y)=xy] rarr [f(0,0)=0]$
1° e 3° quadrante
$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) gt 0]$
2° e 4° quadrante
$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) lt 0]$
l'origine è un punto di sella. Insomma, poiché, in un qualsiasi intorno dell'origine, la funzione assume valori sia minori che maggiori del valore assunto dalla funzione nell'origine medesima, almeno in questo caso non è necessaria alcuna restrizione.[/quote]
Ma non ho capito come deduci che $f(x,y)>0$ nel primo e terzo quadrante e $<0$ nel quarto e secondo quadrante.
Grazie
"Aletzunny":
Ma non ho capito come deduci che ...
Stai scherzando? Perdonami ma, se veramente non riesci a capirlo da solo, significa che non hai la minima idea di cosa sia, intuitivamente, una funzione di due variabili.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Aletzunny"]
Ma non ho capito come deduci che ...
Stai scherzando? Perdonami ma, se veramente non riesci a capirlo da solo, significa che non hai la minima idea di cosa sia, intuitivamente, una funzione di due variabili.[/quote]
Seriamente!non riesco ad immaginare la funzione nel piano.
Per quello spesso mi blocco sugli esercizi.
Come dovrei intuitivamente pensarla?
A me hanno insegnato a fare cosi:
quando il determinante dell'Hessiana è uguale a zero non classifica il punto esaminato quindi ,bisogna studiare l'intorno di $f(x,y) $ nei punti trovati, cioè:
$ f(x,y)>=f(x_0, y_0) $ quindi $ f(x,y) - f(x_0, y_0)>=0 $
se studiando il segno di questa disequazione trovo attorno il punto interessato un intorno solamente negativo allora sara punto di massimo, al contrario punto di minimo, se l'intorno è sia positivo che negativo allora è un punto di sella.
NB:
$ f(x_0, y_0) $ può essere uguale a $ 0 $ oppure una costante $ C $
nel caso sia una costante, dovrò studiare il segno della funzione $f(x,y)-C>=0 $; il punto$ f(x_0, y_0)$ stazionario per $f(x,y)$, sarà stazionario anche per $f(x,y)-c $ cambia solo una variazione di "quota"
quando il determinante dell'Hessiana è uguale a zero non classifica il punto esaminato quindi ,bisogna studiare l'intorno di $f(x,y) $ nei punti trovati, cioè:
$ f(x,y)>=f(x_0, y_0) $ quindi $ f(x,y) - f(x_0, y_0)>=0 $
se studiando il segno di questa disequazione trovo attorno il punto interessato un intorno solamente negativo allora sara punto di massimo, al contrario punto di minimo, se l'intorno è sia positivo che negativo allora è un punto di sella.
NB:
$ f(x_0, y_0) $ può essere uguale a $ 0 $ oppure una costante $ C $
nel caso sia una costante, dovrò studiare il segno della funzione $f(x,y)-C>=0 $; il punto$ f(x_0, y_0)$ stazionario per $f(x,y)$, sarà stazionario anche per $f(x,y)-c $ cambia solo una variazione di "quota"
"Aletzunny":
Ma non ho capito come deduci che ...
Origine
$[f(x,y)=xy] rarr [f(0,0)=0]$
1° e 3° quadrante
$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) gt 0]$
(perché nel 1° e 3° quadrante il prodotto delle coordinate di un punto appartenente al dominio è positivo)
2° e 4° quadrante
$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) lt 0]$
(perché nel 2° e 4° quadrante il prodotto delle coordinate di un punto appartenente al dominio è negativo)
Ad ogni modo, graficamente, poiché l'asse x e l'asse y sono entrambi "impegnati" per rappresentare il dominio, il valore della funzione necessita di un terzo asse, l'asse z. Solo per fare un esempio:
Insomma, nel caso di una funzione di due variabili, il grafico è una superficie nello spazio, piuttosto che una curva nel piano.
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