Punti di minimo, massimo e sella funzioni in due variabili
svolgendo gli esercizi mi sono imbattuto in questi due casi:
$1)$ $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$
trovo che un punto stazionario è $x=0,y=0$ e
costruendo la matrice Hessiana
$H=[[-4,4],[4,-4]]$ e poichè $detH=0$ non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.
$2)$ $f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)$
trovo che i punti stazionari sono $(0,0)$ e $(1/2,1/3)$.
per $(1/2,1/3)$ ho calcolato che esso è un punto di massimo.
per $(0,0)$ trovo che la matrice Hessiana è
$H=[[0,0],[0,0]]$ e dunque $detH=0$.
anche in questo caso non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.
dunque la mia domanda è: in questi casi come si procede?
Grazie
$1)$ $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$
trovo che un punto stazionario è $x=0,y=0$ e
costruendo la matrice Hessiana
$H=[[-4,4],[4,-4]]$ e poichè $detH=0$ non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.
$2)$ $f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)$
trovo che i punti stazionari sono $(0,0)$ e $(1/2,1/3)$.
per $(1/2,1/3)$ ho calcolato che esso è un punto di massimo.
per $(0,0)$ trovo che la matrice Hessiana è
$H=[[0,0],[0,0]]$ e dunque $detH=0$.
anche in questo caso non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.
dunque la mia domanda è: in questi casi come si procede?
Grazie
Risposte
Intervengo di nuovo per richiamare l'attenzione su una questione fondamentale: qual è la definizione di "punto di sella" che viene usata da OP?
Di definizioni ce ne sono almeno due, quindi, prima di scrivere cose a caso, sarebbe preferibile (per gli utenti e, soprattutto, per OP che deve sostenere un esame) cercare di chiarire questo punto.
Di definizioni ce ne sono almeno due, quindi, prima di scrivere cose a caso, sarebbe preferibile (per gli utenti e, soprattutto, per OP che deve sostenere un esame) cercare di chiarire questo punto.
"gugo82":
Intervengo di nuovo per richiamare l'attenzione su una questione fondamentale: qual è la definizione di "punto di sella" che viene usata da OP?
Di definizioni ce ne sono almeno due, quindi, prima di scrivere cose a caso, sarebbe preferibile (per gli utenti e, soprattutto, per OP che deve sostenere un esame) cercare di chiarire questo punto.
Quella usata da me l'ho scritta due post sopra.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Aletzunny"]
Ma non ho capito come deduci che ...
Origine
$[f(x,y)=xy] rarr [f(0,0)=0]$
1° e 3° quadrante
$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) gt 0]$
(perché nel 1° e 3° quadrante il prodotto delle coordinate di un punto appartenente al dominio è positivo)
2° e 4° quadrante
$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) lt 0]$
(perché nel 2° e 4° quadrante il prodotto delle coordinate di un punto appartenente al dominio è negativo)
Ad ogni modo, graficamente, poiché l'asse x e l'asse y sono entrambi "impegnati" per rappresentare il dominio, il valore della funzione necessita di un terzo asse, l'asse z. Solo per fare un esempio:
Insomma, nel caso di una funzione di due variabili, il grafico è una superficie nello spazio, piuttosto che una curva nel piano.
[/quote]Si ho capito il ragionamento sul segno di questa funzione singola
Per quanto riguarda la strategia da adottare quando il determinante della matrice Hessiana è nullo:
1. Il punto critico è un minimo relativo: devi determinare un intorno del punto critico in cui la funzione assume valori maggiori del valore della funzione nel punto critico medesimo.
2. Il punto critico è un massimo relativo: devi determinare un intorno del punto critico in cui la funzione assume valori minori del valore della funzione nel punto critico medesimo.
3. Il punto critico è un punto di sella: devi determinare un intorno del punto critico in cui la funzione assume valori sia minori che maggiori del valore della funzione nel punto critico medesimo.
Inoltre, mentre nei primi due casi si procede mediante minorazioni e maggiorazioni, nel terzo caso si procede, tipicamente, mediante restrizioni. Proprio per questo motivo, essendo le restrizioni più semplici da gestire, la maggior parte delle volte l'analisi conduce a un punto di sella. Infine, soprattutto quando si è alle prime armi, si procede necessariamente per tentativi.
P.S.
A questo punto, presumo che tu abbia compreso anche le soluzioni degli esercizi che avevi proposto.
1. Il punto critico è un minimo relativo: devi determinare un intorno del punto critico in cui la funzione assume valori maggiori del valore della funzione nel punto critico medesimo.
2. Il punto critico è un massimo relativo: devi determinare un intorno del punto critico in cui la funzione assume valori minori del valore della funzione nel punto critico medesimo.
3. Il punto critico è un punto di sella: devi determinare un intorno del punto critico in cui la funzione assume valori sia minori che maggiori del valore della funzione nel punto critico medesimo.
Inoltre, mentre nei primi due casi si procede mediante minorazioni e maggiorazioni, nel terzo caso si procede, tipicamente, mediante restrizioni. Proprio per questo motivo, essendo le restrizioni più semplici da gestire, la maggior parte delle volte l'analisi conduce a un punto di sella. Infine, soprattutto quando si è alle prime armi, si procede necessariamente per tentativi.
P.S.
A questo punto, presumo che tu abbia compreso anche le soluzioni degli esercizi che avevi proposto.
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda la strategia da adottare quando il determinante della matrice Hessiana è nullo:
1. Il punto critico è un minimo relativo: devi determinare un intorno del punto critico in cui la funzione assume valori maggiori del valore della funzione nel punto critico medesimo.
2. Il punto critico è un massimo relativo: devi determinare un intorno del punto critico in cui la funzione assume valori minori del valore della funzione nel punto critico medesimo.
3. Il punto critico è un punto di sella: devi determinare un intorno del punto critico in cui la funzione assume valori sia minori che maggiori del valore della funzione nel punto critico medesimo.
Inoltre, mentre nei primi due casi si procede mediante minorazioni e maggiorazioni, nel terzo caso si procede, tipicamente, mediante restrizioni. Proprio per questo motivo, essendo le restrizioni più semplici da gestire, la maggior parte delle volte l'analisi conduce a un punto di sella. Infine, soprattutto quando si è alle prime armi, si procede necessariamente per tentativi.
P.S.
A questo punto, presumo che tu abbia compreso anche le soluzioni degli esercizi che avevi proposto.
Grazie.
Si sto cercando di comprenderli quegli esercizi
Ah, un punto di minimax...
Quindi cosa accade alle funzioni $f(x,y) := x^3 - 3xy^2$ o $g(x,y):=x^2 + y^3$ in $(0,0)$?
Quindi cosa accade alle funzioni $f(x,y) := x^3 - 3xy^2$ o $g(x,y):=x^2 + y^3$ in $(0,0)$?
"gugo82":
Ah, un punto di minimax...
Quindi cosa accade alle funzioni $f(x,y) := x^3 - 3xy^2$ o $g(x,y):=x^2 + y^3$ in $(0,0)$?
Alcuni considerano punto di sella di una funzione di più variabili un punto stazionario che è di massimo relativo forte rispetto ad una retta e di minimo relativo forte rispetto ad un’altra retta, proprio come una sella da cavallo. (Per funzioni di classe C2, ciò equivale a dire che la corrispondente matrice hessiana ha due autovalori non nulli di segno opposto.)
Altri invece chiamano punto di sella un qualsiasi punto stazionario non estremante.
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