Punti di max e min di una funzione in due variabili

[chinodda]

Ciao a tutti!:) Vi posto un esercizio per farvi capire meglio il mio problema:
ho la seguente funzione $f(x,y)=(1-x^2-y^2)(x^2-y^2)$ Calcolando le derivate parziali avrò:
$fx= 2x(1-((2)^(1/2)x)(1+((2)^(1/2)x))$
$fy=-2y(1-((2)^(1/2)y)(1+((2)^(1/2)y))$
Ponendo il gradiente uguale a zero,avrò ben nove punti critici,ossia:
$A(0,0)$ che è un punto di sella (trovato tramite l'hessiano)
$B(0,1/((2)^(1/2)))$ e $C(0,-1/((2)^(1/2)))$ che sono minimi
$D(1/((2)^(1/2)),0)$ e $E(-1/((2)^(1/2)),0)$ che sono massimi
e poi $F(1/((2)^(1/2)),1/((2)^(1/2)))$ $G(1/((2)^(1/2)),-1/((2)^(1/2)))$ $I(-1/((2)^(1/2)),1/((2)^(1/2)))$ $H(-1/((2)^(1/2)),-1/((2)^(1/2)))$ che sono punti di sella.
Graficamente avrei questa situazione:

le zone colorate sono quelle positive..Ecco:se dovessi fare esclusivamente lo studio dei segni ponendo la funzione maggiore o uguale a zero,come faccio a capire che D e E sono punti di max e che B e C sono invece di minimo?Per i punti di sella mi è chiaro,perchè in ogni loro intorno il segno cambia.Grazie per ogni evenuale risposta!!

[robbstark1]

Per esempio in questo caso, essendo la funzione continua, sui bordi delle regioni è nulla.
Per il teorema di Weierstrass, nella regione (bordi inclusi) devono esistere un massimo e un minimo.
Se nella regione la funzione è positiva, il minimo è sui bordi e l'unico punto critico interno deve essere un massimo.
Viceversa per le regioni dove la funzione è positiva.
Però se una regione contenesse più di un punto critico, questo ragionamento non si potrebbe fare.

[chinodda]

chiarissimo!!grazie tante!:)