Punti di massimo e di minimo di una funzione
Ciao a tutti, durante lo studio di funzione, una volta che ho calcolato la derivata prma e lo posta maggiore di zero, ottengo dei risultati.
Questi sono i candidati per essere i punti di massimo o di minimo giusto? Naturalmente sarebbero le ascisse.
Ma se dovessi fare un grafico qualitativo, dovrei sapere anche le ordinate di questi punti.. come faccio a trovarle?
Grazie
Questi sono i candidati per essere i punti di massimo o di minimo giusto? Naturalmente sarebbero le ascisse.
Ma se dovessi fare un grafico qualitativo, dovrei sapere anche le ordinate di questi punti.. come faccio a trovarle?
Grazie
Risposte
Una volta trovati gli estremi locali/assoluti (cioè i massimi e minimi), che non sono esattamente tutti i punti stazionari ma vanno cercati tra questi (Teorema di Fermat), basta calcolare il valore della funzione in quei punti 
Quei punti li vado a sostiutire nella derivata prima vero? non nella funzione di partenza..
Perdonami per le domande e che ho difficoltà nel disegnare il grafico
Inoltre come faccio a capire se il punto che trovo è di massimo o di minimo?
Perdonami per le domande e che ho difficoltà nel disegnare il grafico
Inoltre come faccio a capire se il punto che trovo è di massimo o di minimo?
No, al contrario, nella funzione. Sostituendoli nella derivata prima otterresti chiaramente $0$, altrimenti non sarebbero punti stazionari!
Per capire se si tratti di punti di massimo o di minimo, bisogna ragionare:
Un punto $x_0$ di dice si massimo (rispettivamente minimo) relativo, se
\[ \exists \ \delta > 0 \ | \ \forall \ x_0 - \delta < x < x_0 + \delta, \begin{cases} f(x_0) \leq f(x) \implies punto \ di \ minimo\\
oppure\\
f(x_0) \geq f(x) \implies punto \ di \ massimo
\end{cases} \]
Nel nostro caso, questo può essere verificato studiando il segno della derivata. Come conseguenza del teorema di Fermat, quando $f'(x) > 0$, la funzione sarà crescente; al contrario, quando $f'(x) < 0$, la funzione sarà decrescente.
Nel caso dei punti di massimo e di minimo, guardando la definizione, si dovranno verificare i seguenti casi:
1) se $x_0$ è un punto di minimo, allora la funzione dovrà prima essere descrescente, quando $ x > x_0 - \delta$, e poi crescente quando $x < x_0 + \delta$. Parlando in termini di derivate, la derivata avrà segno negativo prima di $x_0$ (nell'intorno) e poi positivo dopo $x_0$.
2) se $x_0$ è un punto di massimo, è il contrario: prima la derivata sarà positiva e poi negativa.
Quindi, ciò che devi fare è ragionare su come si comporta la derivata prima e dopo $x_0$. Se non si comporta in uno dei due modi che ho elencato, allora in $x_0$ vi è un flesso a tangente orizzontale
Per capire se si tratti di punti di massimo o di minimo, bisogna ragionare:
Un punto $x_0$ di dice si massimo (rispettivamente minimo) relativo, se
\[ \exists \ \delta > 0 \ | \ \forall \ x_0 - \delta < x < x_0 + \delta, \begin{cases} f(x_0) \leq f(x) \implies punto \ di \ minimo\\
oppure\\
f(x_0) \geq f(x) \implies punto \ di \ massimo
\end{cases} \]
Nel nostro caso, questo può essere verificato studiando il segno della derivata. Come conseguenza del teorema di Fermat, quando $f'(x) > 0$, la funzione sarà crescente; al contrario, quando $f'(x) < 0$, la funzione sarà decrescente.
Nel caso dei punti di massimo e di minimo, guardando la definizione, si dovranno verificare i seguenti casi:
1) se $x_0$ è un punto di minimo, allora la funzione dovrà prima essere descrescente, quando $ x > x_0 - \delta$, e poi crescente quando $x < x_0 + \delta$. Parlando in termini di derivate, la derivata avrà segno negativo prima di $x_0$ (nell'intorno) e poi positivo dopo $x_0$.
2) se $x_0$ è un punto di massimo, è il contrario: prima la derivata sarà positiva e poi negativa.
Quindi, ciò che devi fare è ragionare su come si comporta la derivata prima e dopo $x_0$. Se non si comporta in uno dei due modi che ho elencato, allora in $x_0$ vi è un flesso a tangente orizzontale
In tanto ti ringrazio per il mega aiuto che mi stai dando. Fino a qui ci sono, ora bisogna mettere in pratica la teoria.
Quindi, io ho questa funzione:
$ f(x)= (x-1)*log|x-1|+x*log(x) $
La derivata prima è:
$ f'(x)= log|x-1|+logx+2 $
Pongo la derivata prima maggiore di zero e ottengo:
$ log(x-1)+logx+2>0 $ se $ x>1 $, come risultato ho: $ x>[1+(sqrt((4+e^2)/(e^2)))]/2 $
invece ho:
$ log(1-x)+logx+2>0 $ se $ x>1 $ , come risultato ho: $ x<[1+- (sqrt((e^2-4)/(e^2)))]/2 $
Il mio unico dubbio ora sta nel fatto di studiare la derivata nel punto destro e sinistro dei punti che ho trovato..
Quindi, io ho questa funzione:
$ f(x)= (x-1)*log|x-1|+x*log(x) $
La derivata prima è:
$ f'(x)= log|x-1|+logx+2 $
Pongo la derivata prima maggiore di zero e ottengo:
$ log(x-1)+logx+2>0 $ se $ x>1 $, come risultato ho: $ x>[1+(sqrt((4+e^2)/(e^2)))]/2 $
invece ho:
$ log(1-x)+logx+2>0 $ se $ x>1 $ , come risultato ho: $ x<[1+- (sqrt((e^2-4)/(e^2)))]/2 $
Il mio unico dubbio ora sta nel fatto di studiare la derivata nel punto destro e sinistro dei punti che ho trovato..
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