Punti di flesso senza minimi o massimi

[broke31]

Sto facendo uno studio di funzione, ho scoperto che la funzione non ha alcun punto di massimo o di minimo ponendo f'x >= 0 che non ha soluzioni, posso quindi concludere che la mia funzione non avendo massimo o minimo non ha punti di flesso ed è quindi inutile calcolare la derivata seconda e studiare f''x >= 0 ?

[axpgn]

$x+sin(x)/3$

Non mi pare abbia massimi e minimi ma flessi ne ha ... tanti ...

[broke31]

allora sono io che non riesco a calcolarla con i metodi che conosco
questa è la mia derivata prima:
\(\displaystyle (-x^2+2x-7)/(x^2-x-6)^2\)
l'ho posta >=0
il numeratore ha delta<0, quindi sono arrivato alla conclusione che la funzione decresce sempre.
A questo punto ho calcolato la derivata seconda che ha come risultato(verificato anche tramite wolfram alpha):
\(\displaystyle ((x^2-x-6)(2x^3-6x^2+42x-26))/(x^2-x-6)^4 \)
e l'ho posta >=0
Non ho semplificato(volutamente) \(\displaystyle x^2-x-6 \) per lasciare il denominatore sempre positivo
e ho messo in evidenza il 2 nella funzione \(\displaystyle 2x^3-6x^2+42x-26 \)
quindi ho ottenuto
\(\displaystyle 2(x^3-3x^2+21x-13) \)
a questo punto ho fatto il falso sistema ponendondo
\(\displaystyle x^2-x-6\geq 0\)
\(\displaystyle 2(x^3-3x^2+21-13) \geq 0)\)
\(\displaystyle (x^2-x-6)^4>0 \)
però non riesco a capire come posso risolvere l'equazione di terzo grado che mi viene, ho tentato di applicare ruffini, ma ho fallito miseramente..

[gugo82]

Più semplicemente, anche la funzione $f(x) = x^3 + x$ non ha né massimi né minimi relativi... E però il grafico di $f$ un punto di flesso ce l'ha.

*** EDIT:
Nel caso proposto è abbastanza seccante andare a studiare esplicitamente il segno della derivata seconda, in quanto è difficile risolvere esplicitamente la disequazione di 3° grado.

Tuttavia, nota che il primo membro della disequazione difficile, i.e. il polinomio $p(x) = x^3 - 3x^2 +21 x - 13$ conserva il segno del termine di grado massimo intorno a $\pm \infty$, ergo $p(x)>0$ [risp. $<0$] per \(x \gg 0\) [risp. \(\ll 0\)]; ciò implica, per il Teorema degli Zeri, che $p$ ha almeno una radice reale $x_0$, la quale è localizzata in $]0,1[$ perché $p(0)<0 D'altra parte, \(p^\prime (x) = 3x^2 -6 x + 21\) non ha radici reali (perché $\Delta <0$), cosicché \(p^\prime (x) >0\) ovunque e $p$ è strettamente crescente in $RR$; ne consegue che $x_0$ è l'unica radice reale di $p$ e che risulta:
\[
p(x) \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x\geq x_0\; .
\]
Usando una buona calcolatrice (e l'algoritmo di bisezione, ad esempio) si trova l'approssimazione \(x_0 \approx 0.67\).