Punti di Flesso senza la derivata seconda

[Thomson1]

Salve a tutti, studiando analisi 1 per conto mio e sono giunto ad un dubbio. Mi sono accorto che esistono casi particolari in cui per studiare una funzione lo studio della derivata seconda è superfluo, o almeno credo. Vi presento in generale quello che penso di aver capito. Prendiamo una funzione $f(x)$. Ho notato che se questa funzione si presenta come una radice dispari di una funzione di $x$ allora già mi aspetto che questa presenti punti dei flesso nei punti che ne annullano l'argomento. O meglio, se la funzione $f(x)$ in prossimità di questi punti è asintotica ad una radice dispari allora questa presenta punti di flesso a tangente verticale. Per spiegarmi meglio vi porto un esempio. $f(x) =\exp(x)(x^2 - 1)^{1/3}$. Si vede subito che la radice terza si annulla in $x = \pm 1$ quindi studio il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a questi valori. Vedo che per $x \to +1$, $f(x)$ è asintotica a $(x-1)^(1/3)2^{1/3}/e$ che ha derivata prima che diverge al limite cercato ed essendo positiva concludo che in $x=1$ ho un flesso verticale ascendente. Allo stesso modo $f(x)$ è asintotica a $-(x-1)^(1/3)2^{1/3}e$ quando $x \to -1$, quindi concludo che in $x=-1$ ho un flesso a tangente verticale discendente. Non so se sono riuscito a spiegarmi bene, ma volevo sapere se questo "pattern" è valido visto che fa risparmiare non poco tempo e calcoli rognosi per la derivata seconda. Allo stesso modo vi chiedo poi se conoscete altri trucchi\casi notevoli in cui si può evitare lo studio della derivata prima da condividermi.

[sellacollesella]

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[Thomson1]

Capisco perfettamente la tua osservazione, e ne deduco che comunque un'analisi preliminare come la mia sulla funzione a "priori", cioè prima dello studio della derivata prima ed eventualmente della seconda è corretta. Spero il professore sia buono all'esame dopodomani e non ci costringa ad un rognoso calcolo di una derivata seconda

[sellacollesella]

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[Noodles1]

@ Thomson

Il concetto di flesso ascendente o discendente non dipende dal fatto che, rispettivamente, la funzione sia crescente o decrescente nel flesso medesimo.

"Thomson":
... concludo che in $x=1$ ho un flesso verticale ascendente ...

Discendente.

"Thomson":
... concludo che in $x=-1$ ho un flesso a tangente verticale discendente ...

Ascendente.

[Thomson1]

capito @Noodles, e grazie @sellacollesella. Veramente non vedo l'ora di liberarmene, ho avuto un po' di problemi di salute che mi hanno rallentato il percorso universitario ma non desisto. Studio fisica e onestamente l'analisi reale mi annoia ormai che sono stato iniziato a algebra lineare e analisi vettoriale. Non vedo l'ora di iniziare analisi funzionale e complessa e geometria differenziale per poi poterle applicare al meglio nella fisica moderna, ma prima devo liberarmi di questo rognoso macigno. Però come disse Einstein, lo studio delle scienze non è una gara ma una interessante avventura.