Punti di flesso.
Buonasera!
Affinché una funzione possa ammettere punti di flesso, è necessario che questa sia derivabile due volte nell'intorno di tale punto?
La domanda nasce dal fatto che la definizione di punto di flesso si basa sulla derivabilità "semplice" della funzione.
Affinché una funzione possa ammettere punti di flesso, è necessario che questa sia derivabile due volte nell'intorno di tale punto?
La domanda nasce dal fatto che la definizione di punto di flesso si basa sulla derivabilità "semplice" della funzione.
Risposte
No, billy.
Ad esempio, prendi la funzione:
[tex]$f(x):=|x|x =\begin{cases} -x^2 &\text{, se $x\leq 0$} \\ x^2 &\text{, se $x\geq 0$} \end{cases}$[/tex]
Il grafico di [tex]$f$[/tex] ha un flesso in [tex]$(0,0)$[/tex] a tangente orizzontale, però la funzione non è derivabile due volte in [tex]$0$[/tex]: difatti si ha:
[tex]$f^\prime (x):=2|x|$[/tex]
e quindi in [tex]$0$[/tex] non esiste la derivata seconda [tex]$f^{\prime \prime}$[/tex].
Perciò la definizione di punto di flesso non dipende dalla proprietà di essere derivabile due volte; tuttavia devi prendere almeno funzioni derivabili una volta, ché ti serve sapere che esiste la retta tangente.
Ad esempio, prendi la funzione:
[tex]$f(x):=|x|x =\begin{cases} -x^2 &\text{, se $x\leq 0$} \\ x^2 &\text{, se $x\geq 0$} \end{cases}$[/tex]
Il grafico di [tex]$f$[/tex] ha un flesso in [tex]$(0,0)$[/tex] a tangente orizzontale, però la funzione non è derivabile due volte in [tex]$0$[/tex]: difatti si ha:
[tex]$f^\prime (x):=2|x|$[/tex]
e quindi in [tex]$0$[/tex] non esiste la derivata seconda [tex]$f^{\prime \prime}$[/tex].
Perciò la definizione di punto di flesso non dipende dalla proprietà di essere derivabile due volte; tuttavia devi prendere almeno funzioni derivabili una volta, ché ti serve sapere che esiste la retta tangente.
Magari non c'entra con la definizione di flesso che viene data secondo i canoni universitari, ma la funzione $f(x)=root3(x)$ in $0$ non è derivabile neanche una volta, nonostante ciò la funzione ha un flesso in $0$.
Beh, sì @melia...
In realtà ciò che mi pare sia indispensabile per la definizione di flesso è l'esistenza della* retta tangente al grafico in quel punto; ciò si traduce nell'esistenza della derivata nei casi buoni, altrimenti ci si può aspettare di tutto...
Però ora non posso continuare a discutere, ché devo uscire; se volete continuiamo più tardi.
P.S.: Una curiosità: la funzione [tex]$f(x):=\sqrt{|x|}$[/tex] ha un flesso in [tex]$0$[/tex] per il tuo standard?
__________
* L'articolo determinativo è importante.
In realtà ciò che mi pare sia indispensabile per la definizione di flesso è l'esistenza della* retta tangente al grafico in quel punto; ciò si traduce nell'esistenza della derivata nei casi buoni, altrimenti ci si può aspettare di tutto...
Però ora non posso continuare a discutere, ché devo uscire; se volete continuiamo più tardi.
P.S.: Una curiosità: la funzione [tex]$f(x):=\sqrt{|x|}$[/tex] ha un flesso in [tex]$0$[/tex] per il tuo standard?
__________
* L'articolo determinativo è importante.
"gugo82":
Una curiosità: la funzione [tex]$f(x):=\sqrt{|x|}$[/tex] ha un flesso in [tex]$0$[/tex] per il tuo standard?
Per me no, ha tangente verticale, ma la concavità non cambia. Dalle mie parti (cioè alla scuola superiore) chiamiamo cuspidi i massimi e i minimi con tangente verticale.
Mi sono documentato un po'...
Il Fiorenza-Greco (che forse è uno dei libri che più "spacca il capello in quattro" rispetto a queste questioni) riporta quanto segue:
Per inciso, dire che un punto [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] è al disopra [risp. al disotto] di una retta non verticale [tex]$y=ax+b$[/tex] significa dire che [tex]$y_0>ax_0+b$[/tex] [risp. [tex]$y_0
Quindi Fiorenza e Greco pare non considerano flessi quei punti a tangente verticale; lo stesso fanno Cafiero e Zitarosa.
Tuttavia non mi pare cosa delittuosa cercare di descrivere flessi a tangente vericale; ovviamente non avrà senso, in tal caso, dire che i punti sono al disopra/disotto della tangente (si dovrà dire a destra/sinistra della tangente)...
Pensandoci, il problema è che la definizione di punto di curvatura non funziona se la tangente è verticale: infatti se esistesse un punto di curvatura a tangente verticale, il diagramma della funzione dovrebbe essere localmente come in figura:
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
line([2,-3],[2,3]);
stroke="red"; plot("-sqrt(x-2)",2,4); plot("sqrt(x-2)",2,4);
stroke="dodgerblue"; plot("-2*sqrt(2-x)",0,2); plot("2*sqrt(2-x)",0,2);[/asvg]
e si vede che nessuno dei diagrammi in rosso o in blu può essere diagramma di un grafico di funzione. Quindi è probabilmente per questo motivo che si tralascia il caso della tangente verticale.
Se si vuole parlare di flessi a tangente verticale bisogna introdurre la cosa prescindendo dalla tangente ed impostando tutto sulle proprietà di convessità/concavità a sinistra/destra del punto.
Il Fiorenza-Greco (che forse è uno dei libri che più "spacca il capello in quattro" rispetto a queste questioni) riporta quanto segue:
Sia [tex]$f$[/tex] una funzione continua nell'intervallo [tex]$]a,b[$[/tex] ed [tex]$x_0$[/tex] un punto di [tex]$]a,b[$[/tex] nel quale [tex]$f$[/tex] è derivabile.
[...] la retta tangente al diagramma [tex]$\Gamma$[/tex] di [tex]$f$[/tex] in [tex]$P_0=(x_0,f(x_0))$[/tex] stante la derivabilità [...] non è verticale [...]
Diremo che il punto [tex]$P_0$[/tex] è un punto di curvatura per il diagramma [tex]$\Gamma$[/tex] di una funzione [tex]$f$[/tex], o che il diagramma è incurvato in [tex]$P_0$[/tex], se esiste un intorno [tex]$I$[/tex] di [tex]$x_0$[/tex] tale che i punti i punti del diagramma aventi ascisse in [tex]$I\setminus \{ x_0\}$[/tex] sono tutti al disopra, o tutti al disotto della retta tangente in [tex]$P_0$[/tex] al diagramma. [...]
Se invece il diagramma non è incurvato in [tex]$P_0$[/tex] [...] si dice che [tex]$P_0$[/tex] è un flesso [...] del diagramma. Ciò vuol dire dunque che in ogni intorno di [tex]$x_0$[/tex] cadono punti [tex]$x\neq x_0$[/tex] tali che i corrispondenti punti del diagramma sono non al disopra la tangente, nonché punti [tex]$x\neq x_0$[/tex] tali che i corrispondenti punti del diagramma sono non al disotto della tangente in [tex]$P_0$[/tex]. [...]
Per inciso, dire che un punto [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] è al disopra [risp. al disotto] di una retta non verticale [tex]$y=ax+b$[/tex] significa dire che [tex]$y_0>ax_0+b$[/tex] [risp. [tex]$y_0
Quindi Fiorenza e Greco pare non considerano flessi quei punti a tangente verticale; lo stesso fanno Cafiero e Zitarosa.
Tuttavia non mi pare cosa delittuosa cercare di descrivere flessi a tangente vericale; ovviamente non avrà senso, in tal caso, dire che i punti sono al disopra/disotto della tangente (si dovrà dire a destra/sinistra della tangente)...
Pensandoci, il problema è che la definizione di punto di curvatura non funziona se la tangente è verticale: infatti se esistesse un punto di curvatura a tangente verticale, il diagramma della funzione dovrebbe essere localmente come in figura:
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
line([2,-3],[2,3]);
stroke="red"; plot("-sqrt(x-2)",2,4); plot("sqrt(x-2)",2,4);
stroke="dodgerblue"; plot("-2*sqrt(2-x)",0,2); plot("2*sqrt(2-x)",0,2);[/asvg]
e si vede che nessuno dei diagrammi in rosso o in blu può essere diagramma di un grafico di funzione. Quindi è probabilmente per questo motivo che si tralascia il caso della tangente verticale.
Se si vuole parlare di flessi a tangente verticale bisogna introdurre la cosa prescindendo dalla tangente ed impostando tutto sulle proprietà di convessità/concavità a sinistra/destra del punto.
Abbi pazienza, non sono capace di disegnare dei grafici, ma prendendo il ramo superiore della funzione azzurra e quello inferiore di quella rossa in 2 c'è un flesso a tangente verticale: tutti i punti con x<2 stanno sotto la tangente, quelli con x>2 stanno sopra la tangente, quindi 2 è un flesso. (Definizione del Prodi di Analisi 1)
Grazie mille a tutti per l'aiuto!
"gugo82":
Una curiosità: la funzione [tex]$f(x):=\sqrt{|x|}$[/tex] ha un flesso in [tex]$0$[/tex] per il tuo standard?
Sono d'accordo con @melia.
Il punto [tex]$x=0$[/tex] è un tipico punto di cuspide.
Quindi non penso possa rientrare nella categoria dei punti di flesso, altrimenti sarebbe inutile parlare di cuspidi..
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