Punti di flesso

[Pierlu11]

Sto cercando una definizione più elegante per definire il punto di flesso... la definizione che ho è " $ x_0 $ è punto di flesso se $ sgn(x-x_0)*(f(x)-f(x_0)-f(x_o)(x-x_0)) $ non cambia segno in un intorno di $ x_0 $ "

Un altro dubbio sullo stesso argomento è il motivo per cui dire " $ x_0 $ è punto di flesso se la funzione cambia concavità/convessità in $ x_0 $" è sbagliato...
Cioè vorrei sapere quale delle due implicazione è sbagliata e per questa vorrei un controesempio che la confuta
"la funzione cambia concavità/convessità in $ x_0 $ $ rArr x_0 $ punto di flesso"
" $ x_0 $ punto di flesso $ rArr $ la funzione cambia concavità/convessità in $ x_0 $ "

[Rigel1]

Immagino che nella tua definizione ci sia \(f'(x_0) (x-x_0)\) al posto di \(f(x_0) (x-x_0)\).
Usando la tua definizione (che, comunque, non è universale) vale solo la prima implicazione che hai scritto.
Come controesempio per la seconda puoi prendere \(x_0=0\) e
\[
f(x) = \begin{cases}
x^3 [1+\sin(1/x)], & \text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x=0.
\end{cases}
\]