Punti di estremo relativo della funzione a 2 variabili
Ciao,
$f(x,y)=x^2+y^2+2(xy-1-x^4-y^4)$ devo determinare gli estremi relativi ma andano a fare le derivate prime e quindi il gradiente per determinre i punti critici mi viene un sitema di terzo grado,devo risolverlo?
$f(x,y)=x^2+y^2+2(xy-1-x^4-y^4)$ devo determinare gli estremi relativi ma andano a fare le derivate prime e quindi il gradiente per determinre i punti critici mi viene un sitema di terzo grado,devo risolverlo?
Risposte
certo, se non ho sbagliato i conti io trovo come punto estremante l'origine
dopo aver fatto il sistema e determinato i punti critici ,faccio la matrice hessiana che mi da come determinante lo zero...
come procedo ora a capire quali sono i punti relativi?
come procedo ora a capire quali sono i punti relativi?
Generalmente se non riesci a trovare la natura del punto stazionario devi cercare di 'ingegnarti' per stabilire se è di minimo-massimo-sella.
O guardando la funzione vedi che ha particolari proprietà algebriche e quindi riesci a stabilire la natura del tuo punto... oppure se hai un po' di fortuna puoi stabilire che NON può essere ne di massimo ne di minimo relativo perchè non lo è su alcuni suoi vincoli contenenti il punto stazionario (sceglierai il vincolo in modo che la funzione diventi una espressione più semplice).
Dando per buono che non puoi stabilire la natura del punto stazionario con i metodi 'usuali', ti dico come ho agito io...
La funzione è definita su $RxxR$ ... prendiamo un sottoinsieme dei punti $S={(x,y)| x=y}$ allora la funzione ristretta ad $S$ sarà di una sola variabile, cioè $f(x)=-2x^4+4x^2-2$ che, come ci aspettavamo, ha in $x=0$ uno dei suoi punti stazionari e studiando le derivate vediamo che $x=0$ è un punto di minimo relativo.
Se consideriamo invece l'insieme $S'={(x,y)| -x=y}$ la funzione viene (procedendo analogamente a prima) $f(x)=-2-x^4$ che ha in $x=0$ un punto di massimo relativo.
Quindi in ogni intorno di $(0,0)$ possiamo trovare dei punti $(x_0,y_0)$ (appartenenti a $S$, quindi avremo che $x_0=y_0$) tali che $f(x_0,y_0)>f(0,0)$ e dei punti $(x_1,y_1)$ (appartenenti a $S'$, quindi avremo che $-x_1=y_1$) tali che $f(x_1,y_1)
Per gli altri due punti cerca di procedere in modo analogo.
O guardando la funzione vedi che ha particolari proprietà algebriche e quindi riesci a stabilire la natura del tuo punto... oppure se hai un po' di fortuna puoi stabilire che NON può essere ne di massimo ne di minimo relativo perchè non lo è su alcuni suoi vincoli contenenti il punto stazionario (sceglierai il vincolo in modo che la funzione diventi una espressione più semplice).
Dando per buono che non puoi stabilire la natura del punto stazionario con i metodi 'usuali', ti dico come ho agito io...
La funzione è definita su $RxxR$ ... prendiamo un sottoinsieme dei punti $S={(x,y)| x=y}$ allora la funzione ristretta ad $S$ sarà di una sola variabile, cioè $f(x)=-2x^4+4x^2-2$ che, come ci aspettavamo, ha in $x=0$ uno dei suoi punti stazionari e studiando le derivate vediamo che $x=0$ è un punto di minimo relativo.
Se consideriamo invece l'insieme $S'={(x,y)| -x=y}$ la funzione viene (procedendo analogamente a prima) $f(x)=-2-x^4$ che ha in $x=0$ un punto di massimo relativo.
Quindi in ogni intorno di $(0,0)$ possiamo trovare dei punti $(x_0,y_0)$ (appartenenti a $S$, quindi avremo che $x_0=y_0$) tali che $f(x_0,y_0)>f(0,0)$ e dei punti $(x_1,y_1)$ (appartenenti a $S'$, quindi avremo che $-x_1=y_1$) tali che $f(x_1,y_1)
Per gli altri due punti cerca di procedere in modo analogo.
scusa ma nn ho capito come hai fatto per studiare la funzione in una sola variabile...
come li hai determinati i punti y=x e -x=y sei andato a tentativi immaginando che potevano andar bene per dimostrare la sella?
o c'è qualche trucchetto?
o c'è qualche trucchetto?
"FELPONE":
come li hai determinati i punti y=x e -x=y sei andato a tentativi immaginando che potevano andar bene per dimostrare la sella?
o c'è qualche trucchetto?
Prendendo $x=y$ e $y=-x$ veniva una espressione particolarmente semplice della funzione.... generalmente si cerca di cominciare da quelle che 'ad occhio' facilitano molto la funzione di partenza (prendendo quei due insiemi infatti si semplificavano alcune cose. Spesso si va per tentativi, non c'è un trucco standard. Comunque con l'esercizio acquisisci esperienza e sarai più veloce.
"FELPONE":
scusa ma nn ho capito come hai fatto per studiare la funzione in una sola variabile...
La studi come le normali funzioni in una variabile (studio della derivata ecc... cose che non ho messo, ora non era quella la cosa importante).
grazie klarence,
il problema è proprio ke non trovo esercizi on-line,volendo commentati....conosci qualke sito specifico?
il problema è proprio ke non trovo esercizi on-line,volendo commentati....conosci qualke sito specifico?
"FELPONE":
grazie klarence,
il problema è proprio ke non trovo esercizi on-line,volendo commentati....conosci qualke sito specifico?
basta che cerchi su internet; esercizi svolti funzioni più variabili
e trovi più risultati che cercando topolino..
"FELPONE":
grazie klarence,
il problema è proprio ke non trovo esercizi on-line,volendo commentati....conosci qualke sito specifico?
Ci sono anche dei libri di esercizi svolti, è una piccola spesa ma ti rimarrà sempre.
che libri mi consigli?
"FELPONE":
che libri mi consigli?
Il marcellini-sbordone dedicato agli esercizi.
Domani ho quel libro sottomano e ti dico precisamente il nome.
grazie....spero con questi libri di riuscire a capire anche nello spazio come si sviluppa una funzione a più variabili perchè veramente non riesco ad immaginarla,sono molto confuso...non riesco ancora bene a capire la relazione tra le variabili x e y e la retta ortogonale z
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