Punti di discontinuità e limiti notevoli

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi volevo sapere se tutti i limiti notevoli sono delle discontinuità eliminabili poi vorrei che qualcuno mi dicesse quanto facciano questi limiti destri e sinistri $\lim_(x-> 0^(-)) (sen(x))/x$ e il $\lim_(x-> 0^(+)) (sen(x))/x$ visto che questa funzione ha una discontinuità eliminabile allora i due limiti devono essere uguali ma diversi da $1$

se volete essere gentili potete dirmi il perche il limite qui sotto faccia $0$ quando a me esce $1$ qualcuno a tentato di rispondermi ma non è stato chiaro e non mi ha fatto capire dove sto sbagliando
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=135655

grazie anticipatamente

[Brancaleone1]

Ciao alessandrof10

"alessandrof10":vorrei che qualcuno mi dicesse quanto facciano questi limiti destri e sinistri $\lim_(x-> 0^(-)) (sen(x))/x$ e il $\lim_(x-> 0^(+)) (sen(x))/x$ visto che questa funzione ha una discontinuità eliminabile allora i due limiti devono essere uguali ma diversi da $1$

Come "diversi da 1"? Il limite notevole $lim_(x->0) sin(x)/x=1$ si dimostra attraverso il teorema del confronto:

$sin(x)

$sin(x)/sin(x)

$1

$=>1>sin(x)/x>1/cos(x)$

e poiché

$lim_(x->0)1=lim_(x->0)1/cos(x)=1$

il limite della funzione "in mezzo" deve fare 1 anch'esso.

Cita

Segnala

---

alessandro.roma.1654

28 lug 2014, 09:50

allora partendo dal presupposto che questa è una funzione di discontinuità eliminabile quindi segue da definizione che i limiti da destra e da sinistra($0^+ 0^-$) devono essere uguali ma diversi dal limite che tende a zero($0$) quindi adesso da quanto sto leggendo su i forum sto capendo che i limiti destro e sinistro($0^+ 0^-$) valgono $1$ mentre il limite che tende a $0$ non è definito quindi in quel punto la funzione sara $0/0$ e ci sarà un punto vuoto su un grafico ma per renderla continua bisogna costruire una nuova funzione definendo nel domino che per x=0 la funzione vale 1.adesso se ho capito bene questo mi dici se TUTTI I LIMITI NOTEVOLI hanno delle discontinuità eliminabili ???

Cita

Segnala

---

Brancaleone1

28 lug 2014, 10:08

"alessandrof10":allora partendo dal presupposto che questa è una funzione di discontinuità eliminabile quindi segue da definizione che i limiti da destra e da sinistra($0^+ 0^-$) devono essere uguali ma diversi dal limite che tende a zero($0$)

E perché mai? Se in punto della funzione il limite destro ha valore $y_0$, e il limite sinistro ha lo stesso valore $y_0$, allora il limite (senza distinzione tra destra e sinistra) deve valere sempre $y_0$.

Cita

Segnala

---

alessandro.roma.1654

28 lug 2014, 10:15

no brancaleone in $0$ la funzione non è definita e non sappiamo cosa fa infatti se mandi al limite esce $0/0$ ma noi per risolvere questa cosa andiamo ad analizzare cosa succede sia a destra e sinistra del limite e vediamo che tendono a 1. spero che qualcuno mi spieghi meglio le cose se ho capito male ma i libri dicono cosi

Cita

Segnala

---

Brancaleone1

28 lug 2014, 10:25

"alessandrof10":no brancaleone in $0$ la funzione non è definita e non sappiamo cosa fa infatti se mandi al limite esce $0/0$ ma noi per risolvere questa cosa andiamo ad analizzare cosa succede sia a destra e sinistra del limite e vediamo che tendono a 1.

Appunto: la funzione

$f(x)=sin(x)/x$

ha dominio $RR\\{0}$, e quindi per tale funzione non si può calcolare $f(0)$.
Però il limite $lim_(x->0) f(x)$ esiste e vale $1$, come ti ho già mostrato più sopra, quindi puoi ricavare una seconda funzione $g(x):RR->RR$ tale che

$g(x)={ ( f(x) if x ne 0 ),( 1 if x=0 ):}$

che esiste nel punto $x_0=0$.

Cita

Segnala

---

alessandro.roma.1654

28 lug 2014, 10:48

giusto mi sono confuso su la definizione discontinuità eliminabile cioè

$\lim_(x->0^(+-))(sin(x))/x!=f(0)$ e no invece come affermavo io sopra che $\lim_(x->0^(+-))(sin(x))/x!=\lim_(x->0)(sin(x))/x$

quindi chiarita questa cosa allora tutti i limiti notevoli sono delle discontinuità eliminabili ???
e poi se hai due minuti potresti guardare quel link sono un pallio di giorni che non capisco dove sbaglio in quel limite

ah grazie di avermi risposto

Cita

Segnala

---

Brancaleone1

28 lug 2014, 11:06

"alessandrof10":
quindi chiarita questa cosa allora tutti i limiti notevoli sono delle discontinuità eliminabili ???

Beh in generale no; esistono limiti notevoli che divergono a $+oo$ o $-oo$, e quelle discontinuità non le puoi "scavalcare" così.

e poi se hai due minuti potresti guardare quel link sono un pallio di giorni che non capisco dove sbaglio in quel limite

Se risponderò lo farò in quell'altro thread

"alessandrof10":ah grazie di avermi risposto

Di nulla, l'importante è che hai capito

Cita

Segnala

---

alessandro.roma.1654

28 lug 2014, 11:09

ok grazie sisi ho capito sei stato molto esauriente nelle spiegazione e a farmi capire dove sbagliavo

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[alessandro.roma.1654]

allora partendo dal presupposto che questa è una funzione di discontinuità eliminabile quindi segue da definizione che i limiti da destra e da sinistra($0^+ 0^-$) devono essere uguali ma diversi dal limite che tende a zero($0$) quindi adesso da quanto sto leggendo su i forum sto capendo che i limiti destro e sinistro($0^+ 0^-$) valgono $1$ mentre il limite che tende a $0$ non è definito quindi in quel punto la funzione sara $0/0$ e ci sarà un punto vuoto su un grafico ma per renderla continua bisogna costruire una nuova funzione definendo nel domino che per x=0 la funzione vale 1.adesso se ho capito bene questo mi dici se TUTTI I LIMITI NOTEVOLI hanno delle discontinuità eliminabili ???

[Brancaleone1]

"alessandrof10":allora partendo dal presupposto che questa è una funzione di discontinuità eliminabile quindi segue da definizione che i limiti da destra e da sinistra($0^+ 0^-$) devono essere uguali ma diversi dal limite che tende a zero($0$)

E perché mai? Se in punto della funzione il limite destro ha valore $y_0$, e il limite sinistro ha lo stesso valore $y_0$, allora il limite (senza distinzione tra destra e sinistra) deve valere sempre $y_0$.

[alessandro.roma.1654]

no brancaleone in $0$ la funzione non è definita e non sappiamo cosa fa infatti se mandi al limite esce $0/0$ ma noi per risolvere questa cosa andiamo ad analizzare cosa succede sia a destra e sinistra del limite e vediamo che tendono a 1. spero che qualcuno mi spieghi meglio le cose se ho capito male ma i libri dicono cosi

[Brancaleone1]

"alessandrof10":no brancaleone in $0$ la funzione non è definita e non sappiamo cosa fa infatti se mandi al limite esce $0/0$ ma noi per risolvere questa cosa andiamo ad analizzare cosa succede sia a destra e sinistra del limite e vediamo che tendono a 1.

Appunto: la funzione

$f(x)=sin(x)/x$

ha dominio $RR\\{0}$, e quindi per tale funzione non si può calcolare $f(0)$.
Però il limite $lim_(x->0) f(x)$ esiste e vale $1$, come ti ho già mostrato più sopra, quindi puoi ricavare una seconda funzione $g(x):RR->RR$ tale che

$g(x)={ ( f(x) if x ne 0 ),( 1 if x=0 ):}$

che esiste nel punto $x_0=0$.

[alessandro.roma.1654]

giusto mi sono confuso su la definizione discontinuità eliminabile cioè

$\lim_(x->0^(+-))(sin(x))/x!=f(0)$ e no invece come affermavo io sopra che $\lim_(x->0^(+-))(sin(x))/x!=\lim_(x->0)(sin(x))/x$

quindi chiarita questa cosa allora tutti i limiti notevoli sono delle discontinuità eliminabili ???
e poi se hai due minuti potresti guardare quel link sono un pallio di giorni che non capisco dove sbaglio in quel limite

ah grazie di avermi risposto

[Brancaleone1]

"alessandrof10":
quindi chiarita questa cosa allora tutti i limiti notevoli sono delle discontinuità eliminabili ???

Beh in generale no; esistono limiti notevoli che divergono a $+oo$ o $-oo$, e quelle discontinuità non le puoi "scavalcare" così.

e poi se hai due minuti potresti guardare quel link sono un pallio di giorni che non capisco dove sbaglio in quel limite

Se risponderò lo farò in quell'altro thread

"alessandrof10":ah grazie di avermi risposto

Di nulla, l'importante è che hai capito

[alessandro.roma.1654]

ok grazie sisi ho capito sei stato molto esauriente nelle spiegazione e a farmi capire dove sbagliavo