Punti di accumulazione (esempi)

[angus89]

Ho trovato un interessante quesito:
-Trovare una successione che abbia esattamente $k$ punti di accumulazione (l'esempio è immediato e naturale su $CC$ ma anche su $RR$ è facile)
-Trovare una successione con una quantità numerabile di punti di accumulazione (ho anche qui un'idea, ma poco pratica, al limite la scrivo più tardi)

Il punto più interessante è sicuramente il secondo...avete qualche idea?

[doppio1]

Per il primo... su [tex]\mathbb{R}[/tex] prendi la successione definita da [tex]x_\alpha = \beta + 1/(q+1)[/tex], dove [tex]\alpha = kq + \beta[/tex] ottenuto facendo la divisione con resto. Tutti e soli i punti da 1 a k (compresi) interi sono di accumulazione.
Per il secondo... prendi i punti a coordinate intere entrambe positive del piano. Al punto [tex](a, b)[/tex] associa il numero [tex]a + 1/b[/tex]. Ora percorri il tuo reticolato in maniera diagonale ([tex](1,1) \rightarrow (1,2) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,1) \rightarrow (2,2) \rightarrow \ldots[/tex]) e associa al punto che incontri il corrispondente numero... dovresti ottenere una successione del genere. Ecco, non è proprio esplicita esplicita...

[The_Mad_Hatter]

Non sono un "addetto ai lavori"... ma sono curioso, e non capisco:

"doppio":Per il primo... su [tex]\mathbb{R}[/tex] prendi la successione definita da [tex]x_\alpha = \beta + 1/(q+1)[/tex], dove [tex]\alpha = kq + \beta[/tex] ottenuto facendo la divisione con resto. Tutti e soli i punti da 1 a k (compresi) interi sono di accumulazione.

Hai definito una successione $x_\alpha$ come $\beta + 1/(q+1)$, ma se fissiamo $\beta$ e $q$, questa non si riduce ad una semplice successione costante? Come mai l'indice $\alpha$ non è presente nella definizione della successione?

[doppio1]

Il fatto è che $\beta$ e q sono determinati in funzione di $\alpha$. L'idea è che, al crescere di $\alpha$, $\beta$ si ripete dopo k passi, e q diventa grande quanto voglio. Ah la cosa sbagliata è che non sono i punti da 1 a k quelli di accumulazione, ma i punti da 0 a k-1. Se vuoi immaginarti l'immagine di questa successione, prova a porre prima $\alpha \equiv 0 (\mod k)$. Hai tutti i multipli di $k$, e più vai avanti più q cresce. L'immagine di questa sottosuccessione ha punto di accumulazione 0.
Tranquillo/a comunque, neppure io sono un addetto ai lavori

[angus89]

Si penso che gli esempi funzionino entrambi, per correttazza metto i miei

Su $CC$ viene naturale considerare la seguente successione.
Sia $\psi_k$ una radice k-esima dell'unità, si consideri dunque $a_n=(\psi)^n$, ovvi motivi ha esattamente $k$ punti di accumulazione.

Per l'altra, quella con una quantità numerabile di punti di accumulazione, non ho una costruzione esplicita, forse lavorandoci un po ne esce una definita per ricorrenza.
L'idea è quella di far oscillare, allargando, i punti intorno all'origine.

Quindi verrebbe

$a_0=0$
$a_1=1$
$a_2=0$
$a_3=-1$
$a_4=0$
$a_5=1$
$a_6=2$
$a_7=1$
$a_8=0$
$a_9=-1$
$a_10=-2$

E così via.... (provandola a disegnare diventa chiara)

[doppio1]

Ma... sei sicuro che siano dei punti di accumulazione? Quale definizione dai di punto di accumulazione?
Un altro esempio per il due potrebbe essere la successione $(x_j=j)$ in $\mathbb{N}$ con la topologia cofinita...

[The_Mad_Hatter]

"doppio":Il fatto è che $\beta$ e q sono determinati in funzione di $\alpha$. L'idea è che, al crescere di $\alpha$, $\beta$ si ripete dopo k passi, e q diventa grande quanto voglio. Ah la cosa sbagliata è che non sono i punti da 1 a k quelli di accumulazione, ma i punti da 0 a k-1. Se vuoi immaginarti l'immagine di questa successione, prova a porre prima $\alpha \equiv 0 (\mod k)$. Hai tutti i multipli di $k$, e più vai avanti più q cresce. L'immagine di questa sottosuccessione ha punto di accumulazione 0.
Tranquillo/a comunque, neppure io sono un addetto ai lavori

Mmm.. sarà che mi sto cimentando in altro, ma non riesco a capire... non riesco a figurarmi la successione. Proviamo a fissare $k$ e vedere i primi termini?

Ad esempio, se $k = 3$, la successione dovrebbe avere esattamente 3 punti di accumulazione, ovvero $0, 1, 2$.

Ma non riesco a capire quali siano i termini di questa successione:
$x_0 = $ ?
$x_1 = $ ?
$x_2 = $ ?
$x_3 = $ ?
$x_4 = $ ?
$x_5 = $ ?

Penso che siano sufficienti a capire l'andamento della successione...

[doppio1]

@The_Mad_Hatter: $x0=0+1$, $x1= 1+1$, $x2= 2+1$, $x3=0+1/2$, $x4=1+1/2$, $x5= 2+1/2$, $x_6=0+1/3$, $x_7=1+1/3$
$\cdots$
Vedi come il primo termine ($\beta$) si ripeta ciclicamente, e il secondo ($1/{q+1}$) diminuisca... spero di non avere sbagliato qualcosa...