Punti di accumulazione e successione convergente
Sia (X,d) spazio metrico e siano p∈X e A⊆X.
p è di accumulazione per A se e solo se esiste una successione iniettiva di punti di A convergente a p.
Ho fatto tutta la dimostrazione ma non capisco la necessità dell'iniettivitá della successione.
p è di accumulazione per A se e solo se esiste una successione iniettiva di punti di A convergente a p.
Ho fatto tutta la dimostrazione ma non capisco la necessità dell'iniettivitá della successione.
Risposte
dim ( $ Rightarrow $ )
$ forall n inN $ sia $ r_n=1/n $
Per $ n=1,r_1=1 $. In corrispondenza di tale raggio $ existsx_1inB_1(p)cap(A-{p}) $ in quanto per ipotesi $ p inDA $. Procedendo per costruzione, in corrispondenza di $ r_n=1/n, existsx_ninB_(1/n)(p)cap(A-{p}) $. Si ottiene dunque una successione $ (x_n):0led(x_n,p)le1/n $. Passando al limite e sfruttando il teorema dei carabinieri si conclude che la successione converge a $ p $.
Non capisco perché sia richiesta la sua iniettività. Non andrebbe bene lo stesso se per qualche $ n $ si ottenesse lo stesso $ x_n $ ? Non cambierebbe mica il carattere della successione...
$ forall n inN $ sia $ r_n=1/n $
Per $ n=1,r_1=1 $. In corrispondenza di tale raggio $ existsx_1inB_1(p)cap(A-{p}) $ in quanto per ipotesi $ p inDA $. Procedendo per costruzione, in corrispondenza di $ r_n=1/n, existsx_ninB_(1/n)(p)cap(A-{p}) $. Si ottiene dunque una successione $ (x_n):0led(x_n,p)le1/n $. Passando al limite e sfruttando il teorema dei carabinieri si conclude che la successione converge a $ p $.
Non capisco perché sia richiesta la sua iniettività. Non andrebbe bene lo stesso se per qualche $ n $ si ottenesse lo stesso $ x_n $ ? Non cambierebbe mica il carattere della successione...
Perché avere una successione con qualche proprietà in più non guasta.
Quindi, ad esempio per $ r_2=1/2,existsx_2inB_(1/2)(p)cap(A-{p}) $ e per far sì che $ x_2nex_1 $ potrei prendere $ x_2inB_bar(r_2](p)cap(A-{p}) $ con $ bar(r_2)=min{1/2;d(p,x_1)} $. E comunque tutto ciò semplicemente per avere una caratteristica in più della successione non indispensabile per la prova della proposizione?
@TS778LB: forse dirò qualcosa di sbagliato, ma se la tua successione non fosse iniettiva, potrebbe essere definitavamente costante e assumere quindi un valore $p$, ora $p$ potrebbe essere isolato, allora non avremo un controesempio (ovviamente mi riferisco all'implicazione inversa) ?
no, è giusto quello che scrivi
la richiesta di successione iniettiva, o condizioni analoghe, serve proprio ad evitare quello che dici tu
poi non è che serve proprio l'iniettività
se la successione ristretta ai pari fosse iniettiva, mente per i dispari assumesse lo stesso valore che nel pari successivo, andrebbe bene lo stesso
la richiesta di successione iniettiva, o condizioni analoghe, serve proprio ad evitare quello che dici tu
poi non è che serve proprio l'iniettività
se la successione ristretta ai pari fosse iniettiva, mente per i dispari assumesse lo stesso valore che nel pari successivo, andrebbe bene lo stesso
[ot]Che bello! Una volta tanto ho detto qualcosa di sensato.
Comunque interessante la cosa che hai detto sulle sottosucessioni.[/ot]
Comunque interessante la cosa che hai detto sulle sottosucessioni.[/ot]
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