Punti di accumulazione

[gundamrx91-votailprof]

Un punto $x$ si dice di accumulazione per un sottoinsieme $A$ se per ogni intorno di $x$ esiste un $a in A$ diverso da $x$.

Sia $A sub NN = {0,1,2,3,4,5}$ e sia $x=3$; un suo intorno può essere $B(3,1)$ ? In questo caso $x=3$ non sarebbe un punto di accumulazione dato che corrisponde al punto stesso; mentre se un intorno di $x$ fosse definito come $B(3,2)$ allora potrebbe essere un punto di accumulazione, dato che $2 != 3$ ?

Grazie e scusate le banalità

[_prime_number]

Il problema è a fondo, non puoi costruire una topologia in cui solo quelli sono intorni. Considera che, ad esempio, l'intersezione finita di aperti deve essere un aperto! Quindi otterresti anche aperti più "piccoli" per forza.

Paola

[gundamrx91-votailprof]

Aspetta Paola, non ti seguo.
Ho appena iniziato a studiare analisi 1 e alcuni concetti non mi sono ancora chiarissimi, tanto meno il lessico

"prime_number":Il problema è a fondo, non puoi costruire una topologia in cui solo quelli sono intorni. Considera che, ad esempio, l'intersezione finita di aperti...

ti riferisci a gli intervalli aperti?

"prime_number":... deve essere un aperto! Quindi otterresti anche aperti più "piccoli" per forza.
Paola

se è così l'intersezione di due intervalli aperti è un intervallo aperto in $QQ$ o in $RR$, o sbaglio?
L'esempio che ho indicato prima mi serve solo a capire se ho capito cosa sono gli intorni e i punti di accumulazione....

[_prime_number]

Ok, allora mi sembra di capire che non hai ancora studiato nulla di topologia. Dunque lascia perdere il mio precedente intervento.
Il punto è che in $\mathbb{R}$ gli intorni di $x$ sono del tipo $B(x,r)$ con $r>0$. Non puoi scegliere quelli che vuoi tu solo!
$x$ è punto di accumulazione per l'insieme $A$ se PER OGNI $r$ si ha $B(x,r)\cap A\setminus\{x\}\ne \emptyset$!
Nel tuo caso, come hai osservato, basta prendere un $r$ più piccolo di $1$ e già non trovi altri elementi di $A$!

Paola

[gundamrx91-votailprof]

Usando $A$ come sottoinsieme dei naturali ho sottointeso che anche il dominio degli intorni fosse in $NN$, quindi $r<1$ non avrebbe tanto senso... o sbaglio? Comunque quello che ho scritto, alla luce del fatto che di topologia non so nulla, è corretto o non ho proprio capito niente di intorni e punti di accumulazione ?

[_prime_number]

No no, anche sui naturali gli intorni della topologia (detta euclidea) prendono ogni $r$ positivo reale.
E' una questione di definizioni che ancora non conosci .

$\mathbb{N}$ è un altro esempio di insieme senza punti di accumulazione, ad esempio. Sai dirmi qualcosa di $\mathbb{Q}$ a tal proposito?

Paola

[gundamrx91-votailprof]

Ok, ci ho provato, ma senza successo
Si, hai ragione su $r$, infatti la definizione di intorno che ho e': sia $x in RR^n$ e sia $r in RR$, $r>0$; un intorno è l'insieme $B(x,r)={y in RR^n | d(x,y), quindi siamo in $RR$.
Non ho ben capito, ma perchè $NN$ non avrebbe punti di accumulazione (questo implicherebbe che il mio esempio allora è palesemente errato?)? Relativamente a $QQ$ a cosa ti riferisci?

[_prime_number]

Prendi un qualunque $n\in\mathbb{N}$. Se fosse punto di accumulazione avresti che per ogni $r>0$, $B(n,r)\cap\mathbb{N}\setminus\{n\}\ne \emptyset$. Ma basta prendere $r=1/2$ per vedere che questo non è vero! Quindi non possono esserci punti di accumulazione.

L'esercizio che ti avevo proposto è rispondere alla domanda: quali sono i punti di accumulazione di $\mathbb{Q}$?

Paola

[gundamrx91-votailprof]

In $QQ$ i punti di accumulazione dovrebbero essere infiniti.... spero.

[_prime_number]

Non ho chiesto quanti, ho chiesto quali

Paola

[gundamrx91-votailprof]

Uno qualsiasi
Dai, scherzo. Un esempio potrebbe essere $x=1/2$ in quanto avrei che $(D(x,r)\\{x}) nn QQ != O/$ per $AAr>0$ ??