Punti critici vincolati da più funzioni
Buongiorno a tutti, avrei una domanda che forse è stupida ma che proprio non riesco a capire. 
Finché gli esercizi richiedono di trovare i punti critici di una funzione vincolata da un vincolo, non trovo alcun problema utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ma l'esercizio chiede:
"Calcolare i punti di massimo relativi ed assoluti della funzione [tex]f(x,y)=2+2x+4y-x^2-y^2[/tex] compresi tra \(x=0, y=0, y=9-x \) "
Ho provato a vedere il punto in cui si annulla il gradiente \( \bigtriangledown f (x,y)=(2-2x, 4-2y) \) ed ho ottenuto il punto \( (x,y)=(1,2) \) che effettivamente appartiene alla figura piana vincolante, ma poi come si prosegue con il calcolo?
Finché gli esercizi richiedono di trovare i punti critici di una funzione vincolata da un vincolo, non trovo alcun problema utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ma l'esercizio chiede:
"Calcolare i punti di massimo relativi ed assoluti della funzione [tex]f(x,y)=2+2x+4y-x^2-y^2[/tex] compresi tra \(x=0, y=0, y=9-x \) "
Ho provato a vedere il punto in cui si annulla il gradiente \( \bigtriangledown f (x,y)=(2-2x, 4-2y) \) ed ho ottenuto il punto \( (x,y)=(1,2) \) che effettivamente appartiene alla figura piana vincolante, ma poi come si prosegue con il calcolo?
Risposte
un punto l'hai già trovato annullando il gradiente, ora devi vedere cosa succede alla funzione sul bordo della regione:
ad esempio restringendo $f$ sulla retta $x=0$ si ha la funzione di una variabile $f(0,y)=2+4y-y^2$ di cui devi cercare i punti critici e poi fai lo stesso con gli altri lati
ad esempio restringendo $f$ sulla retta $x=0$ si ha la funzione di una variabile $f(0,y)=2+4y-y^2$ di cui devi cercare i punti critici e poi fai lo stesso con gli altri lati
"walter89":
un punto l'hai già trovato annullando il gradiente, ora devi vedere cosa succede alla funzione sul bordo della regione:
ad esempio restringendo $f$ sulla retta $x=0$ si ha la funzione di una variabile $f(0,y)=2+4y-y^2$ di cui devi cercare i punti critici e poi fai lo stesso con gli altri lati
Dunque, vediamo se ho capito.
Con la restrizione di $f$ sulla retta $x=0$ trovo il gradiente \( \bigtriangledown f(0,y)=(4-2y) \) quindi un punto critico è \((x,y)=(0,2)\), compreso nella figura vincolante.
Con la restrizione di $f$ sulla retta $y=0$ (ovvero si ha $f(x,0)=2+2x-x^2$) trovo il gradiente \( \bigtriangledown f(x,0)=(2-2x) \) quindi un punto critico è \((x,y)=(1,0)\), compreso nella figura vincolante.
Con la restrizione di $f$ sulla retta $y=9-x$ (ovvero si ha $f(x,9-x)=-2x^2+16x-43$) trovo il gradiente \( \bigtriangledown f(x,9-x)=(-4x+16) \) quindi un punto critico è \((x,y)=(4,5)\) (dove $y=9-x$), compreso nella figura vincolante.
Adesso dovrei studiare che tipo di punti critici sono, dato che non tutti sono massimi o minimi, giusto?
si esatto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo