Punti critici in una funzione di due variabili

[kaia88]

Salve a tutti,
devo studiare la seguente funzione $f(x,y)= log (x/y+y/x) $. Mi trovo in difficoltà nel classificare i punti critici:
$f1(x,y) = ( 1/ ( x/y + y/x)) * ( 1/y - y/(x^2))$
$f2(x,y) = ( 1/ ( x/y + y/x))* ( 1/x - x/(y^2)) $

ponendo le due derivate uguale a zero trovo che esse si annullano per ogni coppia $(a,a)$, $(-a,-a)$, $(+a,-a)$, $(-a,+a)$ appartenente ad $R$

applicando ora il metodo dell'hessiano per classificare tali punti critici, il determinante della matrice viene nullo perciò non posso dire nulla.

Applicando la definizione di massimo e di minimo, cioè $deltaf = f( a+h,b+k) - f(a,b)$ e guardando il segno della differenza mi torna che ogni coppia $ (a,a) e (-a,-a) $ è un minino locale in quanto svolgendo i calcoli mi viene che la differenza è $ ( h-k)^2 $ che è sempre maggiore di zero.
Mi vengono punti di minimo anche per le altre due coppie , in quanto svolgendo i calcoli mi torna $ 4a^2 + ( h-k)^2 $.

Può tornare come procedimento e come risultato oppure ho sbagliato qualcosa?

[ciampax]

Punto primo: ma il dominio lo hai calcolato? No, perché ci sono alcuni punti, tra quelli che citi, che non vanno assolutamente bene!
Punto secondo. il metodo che vuoi usare va bene, ma fallo per i punti che ti servono, e cioè [tex](a,a),\ (-a, -a)$[/tex]

[kaia88]

Si l'avevo calcolato , ma poi non ne avevo tenuto di conto! Le due coppie con segni discordi non rientrano nel dominio! Grazie della correzione e che hai risposto!