Punti critici in funzione a tre variabili: minimo o altro?
Ciao a tutti! Ho un problema con questo complicato studio dei punti critici, perché la matrice Hessiana viene semi-definita positiva.
La funzione è $f(x,y,z)= ln(1+x^2) + y^3+z^2-y^2z $ dove ln è il logaritmo naturale.
I punti dove il gradiente si annulla sono $(0,0,0)$ e $(0,3,9/2)$.
Sto trattando il punto $(0,0,0)$. La matrice Hessiana in $(0,0,0)$ è $ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0,0),(0 , 0 ,2 ) ) $ e dunque è semi-definita positiva.
Le possibilità sono che $(0,0,0)$ sia punto di minimo relativo oppure altro.
La funzione è $f(x,y,z)= ln(1+x^2) + y^3+z^2-y^2z $ dove ln è il logaritmo naturale.
I punti dove il gradiente si annulla sono $(0,0,0)$ e $(0,3,9/2)$.
Sto trattando il punto $(0,0,0)$. La matrice Hessiana in $(0,0,0)$ è $ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0,0),(0 , 0 ,2 ) ) $ e dunque è semi-definita positiva.
Le possibilità sono che $(0,0,0)$ sia punto di minimo relativo oppure altro.
Risposte
Basta calcolarla in $(0,y,0)$. Così vedi che non è né p.to di minimo locale né di sella.
"Fioravante Patrone":
Basta calcolarla in $(0,y,0)$. Così vedi che non è né p.to di minimo locale né di sella.
Intendi calcolare la funzione in $(0,y,0)$, cioè $f(0,y,0)=y^3$ per vedere che è un flesso?
Alcune discussioni sulle selle:
https://www.matematicamente.it/forum/ana ... ight=sella
https://www.matematicamente.it/forum/min ... ight=sella
Io non lo chiamerei punto di sella, e mi piacerebbe capire cosa possa indurre qualcuno a chiamarlo così. Sempre ammesso che tutto sia stato riportato correttamente.
https://www.matematicamente.it/forum/ana ... ight=sella
https://www.matematicamente.it/forum/min ... ight=sella
Io non lo chiamerei punto di sella, e mi piacerebbe capire cosa possa indurre qualcuno a chiamarlo così. Sempre ammesso che tutto sia stato riportato correttamente.
Ricordo che più o meno per punto di sella si intende un punto critico che non è di estremo relativo.
"pier.armeli":Definizione ridicola. Dimostra grave incompetenza matematica.
Non so quale possa essere la motivazione. La definizione di "punto di sella" che ho sugli appunti è "Punto critico che non è di estremo relativo".
"Fioravante Patrone":Definizione ridicola. Dimostra grave incompetenza matematica.[/quote]
[quote="pier.armeli"]Non so quale possa essere la motivazione. La definizione di "punto di sella" che ho sugli appunti è "Punto critico che non è di estremo relativo".
Mi sembra piuttosto azzardato un simile parere! Diciamo che io ho preso la definizione semplificata, che comunque è stata data tale nel corso per avere un'idea immediata (ma non tecnicamente corretta) di cosa si stava trattando.
Allora mi correggo e inserisco la definizione più corretta, che è stata specificata in seguito durante il corso:
Punto di sella: $ vec x_0 $ si definisce punto di sella se, avvicinandosi a $ vec x_0 $, esistono due diverse direzioni in cui lungo la prima $f$ ha un massimo e lungo la seconda un minimo.
Concludo facendo notare che mi farebbe molto più piacere avere chiarimenti in merito alla correttezza (indipendentemente dalla nomenclatura, ma solo in relazione allo svolgimento; chiamateli come vi pare: punti di flesso, di sella, punti di "strano comportamento senza alcun nome" - basta che si distinguano da max o min!) o meno dello svolgimento dell'esercizio.
Solo in questo modo potrò trarre un effettivo beneficio e le risposte potranno avere una funzione costruttiva.
svuotato
"Fioravante Patrone":
Alcune discussioni sulle selle:
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https://www.matematicamente.it/forum/min ... ight=sella
Io non lo chiamerei punto di sella, e mi piacerebbe capire cosa possa indurre qualcuno a chiamarlo così. [size=150]Sempre ammesso che tutto sia stato riportato correttamente[/size].
"pier.armeli":Definizione ridicola. Dimostra grave incompetenza matematica.[/quote]
[quote="Fioravante Patrone"][quote="pier.armeli"]Non so quale possa essere la motivazione. La definizione di "punto di sella" che ho sugli appunti è "Punto critico che non è di estremo relativo".
Mi sembra piuttosto azzardato un simile parere! Diciamo che io ho preso la definizione semplificata, che comunque è stata data tale nel corso per avere un'idea immediata (ma non tecnicamente corretta) di cosa si stava trattando.
Allora mi correggo e inserisco la definizione più corretta, che è stata specificata in seguito durante il corso:
Punto di sella: $ vec x_0 $ si definisce punto di sella se, avvicinandosi a $ vec x_0 $, esistono due diverse direzioni in cui lungo la prima $f$ ha un massimo e lungo la seconda un minimo.
Per mettere tutto in chiaro, e per evitare che quasi mi si prenda in giro, faccio riferimento ad un corso di Analisi 2 della prof. Benedetta Ferrario dell'Università degli Studi di Pavia.
Concludo facendo notare che mi farebbe molto più piacere avere chiarimenti in merito alla correttezza (indipendentemente dalla nomenclatura, ma solo in relazione allo svolgimento; chiamateli come vi pare: punti di flesso, di sella, punti di "strano comportamento senza alcun nome" - basta che si distinguano da max o min!) o meno dello svolgimento dell'esercizio, presente nel pdf riportato nel precedente post.
Solo in questo modo potrò trarre un effettivo beneficio e le risposte potranno avere una funzione costruttiva.[/quote]
Vedi la parte indicata sopra in bold, in rosso e ingrandita. Proprio perché conosco i "miei polli". Manderò un mail alla mia collega, per vedere se ha obiezioni da fare nei miei confronti.
Le "lezionicine" (vedi parte evidenziata in marrone), dalle prima di tutto a te stesso. Visto, oltretutto, che la risposta al dubbio che tu sollevavi te l'avevo data nella mia prima riga di risposta.
Innanzitutto mi sembra corretto darLe del Lei, visto che è un prof. universitario! L'ho scoperto solo ora ..
Forse non sono stato chiaro, ma avrei voluto da Lei una risposta positiva o negativa (SI o NO) in merito alla mia domanda, perché nei suoi post è stato leggermente criptico.
Quindi io non ho nessuna lezioncina da dare a me stesso, ma anzi Lei non ha avuto rigor di chiarezza, lasciando tutto come sottinteso, infatti il mio dubbio sulla sua risposta nasce dal fatto che "Basta calcolarla in $(0,y,0)$" può significare calcolare la funzione in quel punto, oppure la matrice hessiana in quel punto. Presumo a questo punto che intendesse la funzione. Comunque, specifico:
Io ho chiesto: devo calcolare la funzione in $(0.y.0)$, cioè $f(0.y.0)=y^3$, per notare che c'è un flesso? Si o no?
E a questo punto concludo che non è un punto né di max né di min? Si o no?
E' inutile e anche "antipatico" contattare la prof, in quanto lei si attiene testualmente e perfettamente al testo "Canuto Tabacco - A nalisi Matematica II". Quindi, se ha qualcosa da obiettare, lo faccia nei confronti di Claudio Canuto e Anita Tabacco, Politecnico di Torino.
Nel mio prossimo post, per cui mi scuso di aver risposto in due separatamente, ho riportato qualche riga in cui sono contenute le definizioni a cui devo attenermi.
Forse non sono stato chiaro, ma avrei voluto da Lei una risposta positiva o negativa (SI o NO) in merito alla mia domanda, perché nei suoi post è stato leggermente criptico.
Quindi io non ho nessuna lezioncina da dare a me stesso, ma anzi Lei non ha avuto rigor di chiarezza, lasciando tutto come sottinteso, infatti il mio dubbio sulla sua risposta nasce dal fatto che "Basta calcolarla in $(0,y,0)$" può significare calcolare la funzione in quel punto, oppure la matrice hessiana in quel punto. Presumo a questo punto che intendesse la funzione. Comunque, specifico:
Io ho chiesto: devo calcolare la funzione in $(0.y.0)$, cioè $f(0.y.0)=y^3$, per notare che c'è un flesso? Si o no?
E a questo punto concludo che non è un punto né di max né di min? Si o no?
E' inutile e anche "antipatico" contattare la prof, in quanto lei si attiene testualmente e perfettamente al testo "Canuto Tabacco - A nalisi Matematica II". Quindi, se ha qualcosa da obiettare, lo faccia nei confronti di Claudio Canuto e Anita Tabacco, Politecnico di Torino.
Nel mio prossimo post, per cui mi scuso di aver risposto in due separatamente, ho riportato qualche riga in cui sono contenute le definizioni a cui devo attenermi.
"Fioravante Patrone":Definizione ridicola. Dimostra grave incompetenza matematica.[/quote]
[quote="pier.armeli"]Non so quale possa essere la motivazione. La definizione di "punto di sella" che ho sugli appunti è "Punto critico che non è di estremo relativo".
Riporto testualmente tre righe del Canuto Tabacco - A nalisi Matematica II, mio testo di riferimento (testo ufficiale del corso):
"Un punto $x_0$ stazionario per $f$ in cui $Hf(x_0)$ sia indefinita, verrà detto punto di sella." e poi si dice "La definizione di punto di sella può essere estesa a comprendere punti stazionari in cui la matrice hessiana sia semi-definita (positiva oppure negativa).[...] La condizione aggiuntiva è [...]: esistono una direzione lungo la quale f ha un punto di massimo in $x_0$ ed una direzione lungo la quale f ha un punto di minimo in $x_0$."
1. Vedo che hai corretto il post iniziale, dove dicevi "punto di minimo relativo o di sella". Se uno ora legge il thread non capisce la mia risposta. Complimenti.
2. Ci vuole molta fantasia pensare che ci fosse da calcolare la matrice hessiana in $(0,y,0)$.
3. Ho mandato un mail alla mia collega, per le ragioni già dette.
4. Vedo che sei succube del "principio di autorità". Prima l'hai usato contro di me, per "smentire" quello che dicevo. Poi lo subisci, avendo scoperto che sono un prof. Buon viaggio.
5. Quanto al tuo ultimo post, noto che non sai leggere.
2. Ci vuole molta fantasia pensare che ci fosse da calcolare la matrice hessiana in $(0,y,0)$.
3. Ho mandato un mail alla mia collega, per le ragioni già dette.
4. Vedo che sei succube del "principio di autorità". Prima l'hai usato contro di me, per "smentire" quello che dicevo. Poi lo subisci, avendo scoperto che sono un prof. Buon viaggio.
5. Quanto al tuo ultimo post, noto che non sai leggere.
"Fioravante Patrone":
1. Vedo che hai corretto il post iniziale, dove dicevi "punto di minimo relativo o di sella". Se uno ora legge il thread non capisce la mia risposta. Complimenti.
2. Ci vuole molta fantasia pensare che ci fosse da calcolare la matrice hessiana in $(0,y,0)$.
3. Ho mandato un mail alla mia collega, per le ragioni già dette.
4. Vedo che sei succube del "principio di autorità". Prima l'hai usato contro di me, per "smentire" quello che dicevo. Poi lo subisci, avendo scoperto che sono un prof. Buon viaggio.
5. Quanto al tuo ultimo post, noto che non sai leggere.
1. Grazie! L'ho corretto appunto perché, visto che ognuno intende punto di sella in modo differente, è preferibile dire "di minimo o di altro", almeno così si può ricevere l'aiuto necessario, senza dover entrare in vertiginosi discorsi sulla terminologia. Spero si sia capito che il mio unico interesse era di comprendere lo svolgimento (come riconoscere che non era di minimo, che finalmente mi ha confermato nella 2.: guardi, mi bastava sapere solo questo!).
2. Tutto è possibile. Anche calcolare l'hessiana in $(0,y,0)$ per poi studiarla (se non ricordo male su internet ho già visto alcuni che suggerivano di fare una cosa simile per una 2x2).
3. Io personalmente ritengo improprio aver comuncato alla collega in una situazione di questo tipo (confronto trasversale).
4. Lei fa confusione! Il principio di autorità è un'altra cosa. Il mio è solo rispetto nei confronti di chi ha studiato e ora insegna e dopo anni e anni avrà sicuramente più esperienza e competenza di uno studente.
5. Mi fa piacere la sua costante chiarezza nelle risposte: praticamente mi insulta dicendo che sono una sorta di incapace che non sa leggere. Putroppo non dà altri chiarimenti. Mah, eppure da prof. dovrebbe insegnare .. magari una spiegazione degli eventuali errori (non si capisce di che tipo) dell'ultimo post sarebbe istruttiva.
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