Punti critici - Hessiano nullo
Salve ragazzi! Stavo provando a risolvere questo esercizio:
Data la funzione $ f(x,y)= 2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2 $ individuarne e classificarne i punti stazionari.
Il mio procedimento è stato il seguente:
- calcolo $ (partial)/(partial x) , (partial)/(partial y) $ ponendole uguale a zero nel sistema.
- individuo i punti stazionari che risultano $ (0,0);(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2);(-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) $
Il punto $ (0,0) $ non mi fornisce nessuna informazione in quanto $ Hf(x,y)=0 $
Applico il metodo del segno che in generale dovrebbe darmi ulteriori informazioni circa la natura del punto critico, ovvero $Deltaf(x,y)=f(x,y)-f(0,0) $. Pongo la risultante $ Deltaf(x,y)>=0 $ e quindi mi trovo a risolvere la disequazione $ f(x,y)= 2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2>=0 $
Come proseguo nella risoluzione di questa disequazione?
Grazie in anticipo!
Data la funzione $ f(x,y)= 2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2 $ individuarne e classificarne i punti stazionari.
Il mio procedimento è stato il seguente:
- calcolo $ (partial)/(partial x) , (partial)/(partial y) $ ponendole uguale a zero nel sistema.
- individuo i punti stazionari che risultano $ (0,0);(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2);(-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) $
Il punto $ (0,0) $ non mi fornisce nessuna informazione in quanto $ Hf(x,y)=0 $
Applico il metodo del segno che in generale dovrebbe darmi ulteriori informazioni circa la natura del punto critico, ovvero $Deltaf(x,y)=f(x,y)-f(0,0) $. Pongo la risultante $ Deltaf(x,y)>=0 $ e quindi mi trovo a risolvere la disequazione $ f(x,y)= 2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2>=0 $
Come proseguo nella risoluzione di questa disequazione?
Grazie in anticipo!
Risposte
di solito in questi esercizi i punti con hessiano nullo sono punti di sella,perchè è la cosa meno difficile da dimostrare
anche in questo caso la regola viene rispettata
prova a vedere cosa succede se tendi a $(0,0)$ muovendoti sulle rette $y=-x$ e $y=x$
anche in questo caso la regola viene rispettata
prova a vedere cosa succede se tendi a $(0,0)$ muovendoti sulle rette $y=-x$ e $y=x$
Ciao Stormy, grazie per la dritta! 
Secondo il tuo consiglio dovrei calcolare il valore che assume la mia applicazione prima nel punto $ f(0,-x) $ e poi nel punto $ f(0,x) $ ?
Secondo il tuo consiglio dovrei calcolare il valore che assume la mia applicazione prima nel punto $ f(0,-x) $ e poi nel punto $ f(0,x) $ ?
no,se ti "muovi" sulla retta $y=-x$ la tua funzione si riconduce alla funzione di una variabile $f(x)=2+4x^4$
se ti "muovi" sulla retta $y=x$ la tua funzione si riconduce alla funzione di una variabile $g(x)= 2+4x^4-4x^2=2+4x^2(x^2-1)$
a questo punto non è difficile vedere che in intorni sufficientemente piccoli di $(0,0)$ si ha $f(x) geq 2;g(x)leq2$
se ti "muovi" sulla retta $y=x$ la tua funzione si riconduce alla funzione di una variabile $g(x)= 2+4x^4-4x^2=2+4x^2(x^2-1)$
a questo punto non è difficile vedere che in intorni sufficientemente piccoli di $(0,0)$ si ha $f(x) geq 2;g(x)leq2$
Ora mi è tutto chiaro, grazie mille! In alcuni caso forse è meglio utilizzare il metodo delle rette anche se alla fine, da ciò che ho capito, serve a dimostrare solo se il punto in analisi è di sella o meno.
In questo caso se avessi voluto utilizzare il metodo del segno come mi sarei dovuto comportare con quella disequazione?
In questo caso se avessi voluto utilizzare il metodo del segno come mi sarei dovuto comportare con quella disequazione?
a mio parere la disequazione è da evitare
Un grazie anche da parte mia, Stormy!
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