Punti critici funzione a due variabili
Ciao a tutti! Ho un problema con un esercizio di analisi vettoriale. Il testo è il seguente:
Sia $ f(x,y)=(x^2+y^2-1)*(x^2-y^2) $
Determinare i massimi e minimi di $f$ in $R^2$. Trovare il massimo e minimo assoluto di $f$ nel cerchio chiuso con centro nell'origine e raggio $2$.
Il professore in classe ci ha fatto notare come la funzione sia divisa in tre parti:
$(x^2+y^2-1)$ è una circonferenza di raggio 1
$(x+y)$ è la bisettrice del secondo e quarto quadrante
$(x-y)$ è la bisettrice del primo e terzo quadrante
Una volta graficato queste tre funzioni nel piano non capisco in che modo abbia calcolato il segno della funzione nelle varie regioni dello spazio delimitate dalle tre funzioni disegnate.
A parte questo io ho iniziato a verificare la presenza di punti critici calcolando le derivate parziali e ottenendo quanto segue:
$f_x(x,y)=2x(2x^2-1)$ $f_y(x,y)=2y(1-2y^2)$
I valori per i quali le derivate parziali, e quindi il gradiente, si annullano ho trovato essere:
$x=0$ , $x=1/sqrt(2)$ , $x=-1/sqrt(2)$
$y=0$ , $y=1/sqrt(2)$ , $ y=-1/sqrt(2)$
Di conseguenza i punti critici sono:
$(0,0)$ , $(0,1/sqrt(2))$ , $(0,-1/sqrt(2))$
$(1/sqrt(2),0)$ , $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ , $(1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$
$(-1/sqrt(2),0)$ , $(-1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ , $(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$
Ora non ho idea del perchè il mio professore abbia eliminato tutti i punti critici esclusi
$(0,1/sqrt(2))$ $(0,-1/sqrt(2))$ che ha classificato come massimi locali
$(-1/sqrt(2),0)$ $(1/sqrt(2),0)$ che ha classificato come minimi locali
e da quel poco che ho capito i punti sono stati eliminati tenendo conto del grafico con i segni fatto inizialmente
Qualcuno può aiutarmi a capire? Per identificare i punti critici e determinarne quindi la natura non c'è bisogno di calcolare la matrice hessiana?
Sia $ f(x,y)=(x^2+y^2-1)*(x^2-y^2) $
Determinare i massimi e minimi di $f$ in $R^2$. Trovare il massimo e minimo assoluto di $f$ nel cerchio chiuso con centro nell'origine e raggio $2$.
Il professore in classe ci ha fatto notare come la funzione sia divisa in tre parti:
$(x^2+y^2-1)$ è una circonferenza di raggio 1
$(x+y)$ è la bisettrice del secondo e quarto quadrante
$(x-y)$ è la bisettrice del primo e terzo quadrante
Una volta graficato queste tre funzioni nel piano non capisco in che modo abbia calcolato il segno della funzione nelle varie regioni dello spazio delimitate dalle tre funzioni disegnate.
A parte questo io ho iniziato a verificare la presenza di punti critici calcolando le derivate parziali e ottenendo quanto segue:
$f_x(x,y)=2x(2x^2-1)$ $f_y(x,y)=2y(1-2y^2)$
I valori per i quali le derivate parziali, e quindi il gradiente, si annullano ho trovato essere:
$x=0$ , $x=1/sqrt(2)$ , $x=-1/sqrt(2)$
$y=0$ , $y=1/sqrt(2)$ , $ y=-1/sqrt(2)$
Di conseguenza i punti critici sono:
$(0,0)$ , $(0,1/sqrt(2))$ , $(0,-1/sqrt(2))$
$(1/sqrt(2),0)$ , $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ , $(1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$
$(-1/sqrt(2),0)$ , $(-1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ , $(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$
Ora non ho idea del perchè il mio professore abbia eliminato tutti i punti critici esclusi
$(0,1/sqrt(2))$ $(0,-1/sqrt(2))$ che ha classificato come massimi locali
$(-1/sqrt(2),0)$ $(1/sqrt(2),0)$ che ha classificato come minimi locali
e da quel poco che ho capito i punti sono stati eliminati tenendo conto del grafico con i segni fatto inizialmente
Qualcuno può aiutarmi a capire? Per identificare i punti critici e determinarne quindi la natura non c'è bisogno di calcolare la matrice hessiana?
Risposte
"cosssa":
Il professore in classe ci ha fatto notare come la funzione sia divisa in tre parti:
$(x^2+y^2-1)$ è una circonferenza di raggio 1
$(x+y)$ è la bisettrice del secondo e quarto quadrante
$(x-y)$ è la bisettrice del primo e terzo quadrante
Una volta graficato queste tre funzioni nel piano non capisco in che modo abbia calcolato il segno della funzione nelle varie regioni dello spazio delimitate dalle tre funzioni disegnate.
Non è che "la funzione è divisa in tre parti". Lui qui sta studiando l'EQUAZIONE $f(x, y)=0$ (sta studiando una equazione e non una funzione). Ha disegnato il luogo dei punti su cui questa equazione è verificata, e si tratta dell'unione di una circonferenza e di due rette (forse hai fatto cose simili nei corsi di geometria, nei vari capitoli su coniche, curve algebriche ...). Questo luogo di punti divide il piano in varie regioni. Qui finisce lo studio dell'equazione.
In ciascuna delle regioni del piano trovate sopra, la FUNZIONE $f$ deve avere un segno, uno per ogni regione, e per determinarlo basta prendere un punto qualsiasi per ciascuna regione e valutare la funzione lì. Ad esempio, nel punto di coordinate $(x,y)=(\frac{1}{2}, 0)$ la funzione assume un valore negativo, e quindi in tutta la regione contenente quel punto la funzione deve essere negativa.
Uhm... ok, questa parte l'ho capita ma ancora non capisco perchè tenendo conto solo di tale studio del segno possa identificare la natura di certi punti critici ed eliminarne degl altri..
Ciao
vediamo se posso esserti utile
Prova a disegnare il grafico e a individuare le varie regioni, colora in un modo quelle positive e in un altro quelle negative, le bisettrici e la circonferenza avranno valore 0. Posiziona i punti critici che hai trovato, vedrai che alcuni si trovano sulle bisettrici di conseguenza il valore della funzione lì sarà esattamente 0 ma nell'intorno un po' positiva e un po' negativa (siamo a cavallo di una regione positiva e di una negativa, giusto?) allora non può essere né un massimo né un minimo, can it?
Ciao Dissonance
vediamo se posso esserti utile
Prova a disegnare il grafico e a individuare le varie regioni, colora in un modo quelle positive e in un altro quelle negative, le bisettrici e la circonferenza avranno valore 0. Posiziona i punti critici che hai trovato, vedrai che alcuni si trovano sulle bisettrici di conseguenza il valore della funzione lì sarà esattamente 0 ma nell'intorno un po' positiva e un po' negativa (siamo a cavallo di una regione positiva e di una negativa, giusto?) allora non può essere né un massimo né un minimo, can it?
Ciao Dissonance
Ok, rivedendo la funzione dopo tutto quello che mi avete detto ho capito sia il ragionamento che il procedimento. Questo metodo quindi si può sostituire al metodo dell'Hessiano? O solo in alcuni casi?
solo quando si può dedurre la natura dei punti critici.
ti consiglio di fare comunque sempre lo studio del segno, aiuta molto spesso.
ti consiglio di fare comunque sempre lo studio del segno, aiuta molto spesso.
Sono d'accordo con gio73, lo studio del segno è un metodo più elementare rispetto ai metodi basati sul calcolo differenziale. In generale, se uno si trova a scegliere tra un metodo elementare e uno avanzato, è meglio scegliere quello elementare.
Il problema è che a volte i metodi elementari non sono applicabili: nel caso di questo post, è stato relativamente facile studiare il segno, ma con una funzione più complicata potrebbe essere difficile. Per esempio, l'esercizio di questo post recente:
viewtopic.php?f=36&t=167534
qui come si fa a studiare il segno?
P.S.: Ciao Gio!!!
Il problema è che a volte i metodi elementari non sono applicabili: nel caso di questo post, è stato relativamente facile studiare il segno, ma con una funzione più complicata potrebbe essere difficile. Per esempio, l'esercizio di questo post recente:
viewtopic.php?f=36&t=167534
qui come si fa a studiare il segno?
P.S.: Ciao Gio!!!
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