Punti critici di una funzione limitata
salve ragazzi, non capisco questa affermazione del libro: devo cercare i punti critici di
$ f:RR^2->RR $ $ f(x,y)=2y^2-2y(sinx+cosx)+sin(2x) $ su $ E={(x,y)∈RR^2,|x|<=pi,|xy|<=1} $ .
allora il libro dice che la funzione è limitata inferiormente ma non superiormente, infatti $ 2y^2-4y-1<=f(x,y)<=2y^2+4y+1 $ . non capisco proprio come giungere a questa conclusione...
inoltre, nello specifico chiede di determinare, se esistono, minimo e massimo di f sia su $ E $ sia su $ RR^2 $ .
io ho trovato, ed è giusto, che i punti $ (3/4pi+2kpi,0) $ e $ (7/4pi+2kpi,0) $ sono tutti i punti di minimi locali, entrambi con valore $ f=-1 $ . ma come posso fare la distinzione tra i minimi e i massimi su $ E $ e su $ RR^2 $ ?
$ f:RR^2->RR $ $ f(x,y)=2y^2-2y(sinx+cosx)+sin(2x) $ su $ E={(x,y)∈RR^2,|x|<=pi,|xy|<=1} $ .
allora il libro dice che la funzione è limitata inferiormente ma non superiormente, infatti $ 2y^2-4y-1<=f(x,y)<=2y^2+4y+1 $ . non capisco proprio come giungere a questa conclusione...
inoltre, nello specifico chiede di determinare, se esistono, minimo e massimo di f sia su $ E $ sia su $ RR^2 $ .
io ho trovato, ed è giusto, che i punti $ (3/4pi+2kpi,0) $ e $ (7/4pi+2kpi,0) $ sono tutti i punti di minimi locali, entrambi con valore $ f=-1 $ . ma come posso fare la distinzione tra i minimi e i massimi su $ E $ e su $ RR^2 $ ?
Risposte
Ciao itisscience,
Beh, questo è facile: basta tener presente che $- 1 \le sin x \le 1 $, $- 1 \le sin(2x) \le 1 $ e $- 1 \le cos x \le 1 $ e prendere i due casi di massima sfiga...
Quanto ad $E$ suggerirei un bel disegno della situazione...
"itisscience":
non capisco proprio come giungere a questa conclusione...
Beh, questo è facile: basta tener presente che $- 1 \le sin x \le 1 $, $- 1 \le sin(2x) \le 1 $ e $- 1 \le cos x \le 1 $ e prendere i due casi di massima sfiga...
Quanto ad $E$ suggerirei un bel disegno della situazione...
ci avevo pensato, ma forse sbaglio qualcosa perchè io faccio, per trovare il limite inferiore: $ 2y^2-2y(-1-1)-1=2y^2-4y-1 $
per il disegno, ho capito come è fatto e come costruirlo, ma il libro (dispensa) dice che: un eventuale minimo sarà raggiungo ad esempio nell'insieme $ [0,2pi] $ x $ RR $
e poichè il limite per $ |y||->oo $ di $ 2y^2-4y-1=+oo $ allora f avrà minimo.
per il disegno, ho capito come è fatto e come costruirlo, ma il libro (dispensa) dice che: un eventuale minimo sarà raggiungo ad esempio nell'insieme $ [0,2pi] $ x $ RR $
e poichè il limite per $ |y||->oo $ di $ 2y^2-4y-1=+oo $ allora f avrà minimo.
Beh, per trovare il primo caso di minimo peggiore possibile, tenendo conto che comunque anche per $y < 0 $ il termine $2y^2 > 0 $ si può scrivere:
$2y^2 - 2y(- 1 - 1) - 1 = 2y^2 - 4y - 1 $
dove nell'ultimo passaggio si considera $y > 0 $.
Per trovare il secondo caso di massimo peggiore possibile si può scrivere:
$2y^2 - 2y(1 + 1) + 1 = 2y^2 + 4y + 1 $
dove anche qui nell'ultimo passaggio si considera $y > 0 $
In realtà si tratta di una stima grossolana e probabilmente è possibile fare di meglio, perché è chiaro che se $ sin x = 1 $ non può essere contemporaneamente anche $cos x = 1 $ e $ sin(2x) = 1 $
$2y^2 - 2y(- 1 - 1) - 1 = 2y^2 - 4y - 1 $
dove nell'ultimo passaggio si considera $y > 0 $.
Per trovare il secondo caso di massimo peggiore possibile si può scrivere:
$2y^2 - 2y(1 + 1) + 1 = 2y^2 + 4y + 1 $
dove anche qui nell'ultimo passaggio si considera $y > 0 $
In realtà si tratta di una stima grossolana e probabilmente è possibile fare di meglio, perché è chiaro che se $ sin x = 1 $ non può essere contemporaneamente anche $cos x = 1 $ e $ sin(2x) = 1 $
volevo chiedere delle conferme per cercare i minimi e massimi su $ E $ e $ RR^2 $ :
- poichè la funzione è illimitata superiormente, non ammette massimo su $ RR^2 $
- poichè l'insieme $ E $ è illimitato (lungo l'asse y) non ammette massimo su $ E $
- i minimi su $ RR^2 $ li ho trovati con il procedimento delle matrici hessiane etc...
- poichè la funzione è limitata inferiormente, ammette minimo su $ RR^2 $ però non ho capito quale. purtroppo non ho ancora capito il testo che ho citato letteralmente nella risposta di prima: "un eventuale minimo sarà raggiungo ad esempio nell'insieme $ [0,2pi] $ x $ RR $ e poichè il limite per $ |y||->oo $ di $ 2y^2-4y-1=+oo $ allora f avrà minimo."
- poichè la funzione è illimitata superiormente, non ammette massimo su $ RR^2 $
- poichè l'insieme $ E $ è illimitato (lungo l'asse y) non ammette massimo su $ E $
- i minimi su $ RR^2 $ li ho trovati con il procedimento delle matrici hessiane etc...
- poichè la funzione è limitata inferiormente, ammette minimo su $ RR^2 $ però non ho capito quale. purtroppo non ho ancora capito il testo che ho citato letteralmente nella risposta di prima: "un eventuale minimo sarà raggiungo ad esempio nell'insieme $ [0,2pi] $ x $ RR $ e poichè il limite per $ |y||->oo $ di $ 2y^2-4y-1=+oo $ allora f avrà minimo."
"itisscience":
- poichè l'insieme $ E $ è illimitato (lungo l'asse y) non ammette massimo su $ E $
No. La conclusione è giusta, ma il ragionamento è sbagliato. Una funzione generica può benissimo avere minimo su un insieme illimitato, perché no? Ma la funzione di questo esercizio verifica la proprietà seguente:
il limite per $ |y||->oo $ di $ 2y^2-4y-1=+oo $
Adesso puoi dire che non c'è un massimo. Devi ragionare graficamente, immaginati la funzione come un paesaggio, con monti e valli.
dunque, l'unica cosa sbagliata è che il massimo su E esiste, giusto? ma in che modo l'esistenza del massimo su E è legato al fatto che mandando all'infinito la y del minimo della funzione ottenga infinito?
Assolutamente no. O non mi sono spiegato affatto, nel mio post precedente (EDIT: ho modificato il post, dovrebbe essere più chiaro), oppure tu non ci hai riflettuto a sufficienza. Riflettici su un altro po', per favore. Cerca di capire da solo cosa volevo dire. Ora non ho proprio tempo da dedicare a questo thread.
EDIT: Riassunto del mio post precedente. Il massimo su E non esiste. Ma per dimostrarlo non basta dire che E è illimitato. Spero che adesso sia più chiaro.
EDIT: Riassunto del mio post precedente. Il massimo su E non esiste. Ma per dimostrarlo non basta dire che E è illimitato. Spero che adesso sia più chiaro.
Solo per dire che ho modificato i messaggi precedenti. Adesso dovrebbe essere più chiaro.
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