Punti critici di una funzione in due variabili:

[Roslyn]

Avendo:
$x^2log(x+y)$
ottengo che l'unico luogo stazionario è$ x=0$;
studio il segno della funzione ed ottengo:
$x=0$ punti di minimo per$ x<1$
$x=0$ punti di massimo per $x>1$

Ora però la prima soluzione non fa parte del dominio, quindi devo considerare solo la seconda?

[gio73]

sono d'accordo con te che per i punti in cui l'ascissa è 0, abbiamo punti stazionari, l'insieme di questi punti è l'asse $y$, ci accorgiamo inoltre che lungo il semiasse positivo delle ordinate ($y>0$, non consideriamo il semiasse negativo perché non appartiene al dominio) la funzione vale 0, di conseguenza per stabilire la natura dei punti si procede allo studio del segno e si trova che per $01$ punti di minimo, isn't it?

[Roslyn]

Non dovrebbe essere $01$?

[Zero87]

Ciao!

Credo che qui ci sia una svista

"Roslyn":$x=0$ punti di minimo per$ x<1$
$x=0$ punti di massimo per $x>1$

cioè che intendessi "minimo per $y<1$ e massimo per $y>1$ (dobbiamo vedere cosa capita per $(0,1)$, però, ricordiamocelo ).

Allora, mi fido dei tuoi calcoli e hai che l'asse $y$ è tutto un luogo di punti critici. Come facciamo anche io e gio73 vedi che per $x=0$ la funzione è nulla, perciò senza troppi patemi mentali ti servi del segno di $f$ nei dintorni di quel "luogo".
Possiamo comunque prendere anche la prima delle 2 soluzioni che trovi perché, tenendo conto che $y> -x$ (o $x> -y$, non che cambi molto) è il dominio, non dà molti problemi ma va "ristretta".

Quindi se $x=0$ è luogo di minimi, ponendo $x=0$ la nostra funzione è deinita solo per $y>0$. La prima, dunque, diventa "sono punti di minimo per $0

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[Roslyn]

Giusto giusto !!! Hai ragione, mia svista !!! Vi ringrazio davvero di cuore, mi siete utilissimi !!!