Punti critici di una funzione in due variabili:
Ho ancora dei dubbi su tale studio. Ho tale funzione: $log(x+y)-x-y^2/2$ il dominio ovviamente è$ y> -x$ quindi tutto ciò che si trova al di sopra della bisettrice del secondo e quarto quadrante. Ora faccio le derivate parziali ed ottengo:
$f_x= 1/(x+1) -1$
$f_y= 1/(x+y)-y$
Ora pongo il gradiente uguale a 0, ed ottengo come unica soluzione il punto $(0,1)$. Ok , ora provo a studiare la matrice Hessiana, ma noto subito che non ha come componenti nessuna variabile.Cosa significa ciò? Quindi devo procedere in altro modo?Avevo pensato a studiare il comportamento della funzione sulla retta passante per $(0,1)$ ma non so procedere. Mi aiutate a chiarire questi dubbi?
$f_x= 1/(x+1) -1$
$f_y= 1/(x+y)-y$
Ora pongo il gradiente uguale a 0, ed ottengo come unica soluzione il punto $(0,1)$. Ok , ora provo a studiare la matrice Hessiana, ma noto subito che non ha come componenti nessuna variabile.Cosa significa ciò? Quindi devo procedere in altro modo?Avevo pensato a studiare il comportamento della funzione sulla retta passante per $(0,1)$ ma non so procedere. Mi aiutate a chiarire questi dubbi?
Risposte
"Magister":
Ora faccio le derivate parziali ed ottengo:
$f_x= 1/(x+1) -1$
$f_y= 1/(x+y)-y$
La prima credo sia sbagliata, dovrebbe essere
$f_x = 1/(x+y)-1$.
Nel sistema è molto utile sottrarre la seconda alla prima (o viceversa) in modo da fa andare via quella fastidiosa frazione al denominatore.
$1/(x+y)-1=0$
$-1+y=0$
Da cui hai $y=1$ da sostituire in quella sopra ottenendo nella prima $(x)/(x+1)=0$ che dà $x=0$. Ringrazio Magister perché il suo post successivo (questo è un EDIT
) mi ha fatto notare un errore di calcolo.
Ma il libro mi porta un punto di massimo in (0,0) com'è possibile? Comunque sostituendo sopra e facendo il m.c.m ottengo x=0, quindi punto (0,1)...
"Magister":
Ma il libro mi porta un punto di massimo in (0,0) com'è possibile?
Ok, probabilmente ho fatto qualche errore di calcolo - uno l'ho visto ora, perché $(0,1)$ è corretto (vado ad editare) - ma comunque non è per forza $(0,0)$ poiché in quel punto, ad es., non è proprio definita la funzione.
Si ok, ma ora? perchè ho una matrice Hessiana formata da tutte costanti? come faccio a sostituire il mio punto nella matrice? come procedo per determinare il punto (0,1)?
"Magister":
Si ok, ma ora? perchè ho una matrice Hessiana formata da tutte costanti?
Sicuro che l'Hessiana è formata da costanti?
$f_(xx) = - 1/(x+1)^2$, per esempio.
Prova a calcolare l'Hessiana e sostituire (0,1) in essa e vedere il determinante.
Hai perfettamente ragione. La febbre mi sta facendo uscire pazzo. E se per caso avessi una matrice con tutte costanti? che significa?
"Magister":
E se per caso avessi una matrice con tutte costanti? che significa?
Che il suo determinante sarebbe sempre quello a prescindere dal valore di $x$ e $y$.
Riguardati... e non esagerare con la matematica che se non ce l'hai può farti venire il mal di testa.
Hahahaha infatti.. il mio dubbio è relativo solo al fatto che mettiamo ho un punto (0,1) vado a farmi la matrice Hessiana ed ottengo componenti tipo 1,2,4,3 invece di y,3,4,x ora come faccio a classificare il mio punto? solo questo non riesco proprio a capire
Sostituendo il punto alla matrice - quindi calcolando quanto valgono le derivate parziali nel punto - è normale che ti vengano numeri. Quanto vale? Fai il determinante.
Se, però, avessi una matrice a valori costanti "sempre" - un esempio dovrebbe essere $f(x,y)=x^2+y^2$ se la vista non mi inganna - vuol dire semplicemente che il determinante assume sempre lo stesso valore a prescindere dal punto in cui calcoli le derivate parziali.
Se, però, avessi una matrice a valori costanti "sempre" - un esempio dovrebbe essere $f(x,y)=x^2+y^2$ se la vista non mi inganna - vuol dire semplicemente che il determinante assume sempre lo stesso valore a prescindere dal punto in cui calcoli le derivate parziali.
Se i miei conti sono corretti ( 
) la matrice Hessiana nel punto $P=(0,1) $ vale $ H (0,1)= ((-1,-1),(-1,-2)) $ e quindi
$det H = 1 > 0 ; f_(x x) = -1< 0 $ da cui il punto P è di minimo locale forte. e vale $-1/2 $.
) la matrice Hessiana nel punto $P=(0,1) $ vale $ H (0,1)= ((-1,-1),(-1,-2)) $ e quindi $det H = 1 > 0 ; f_(x x) = -1< 0 $ da cui il punto P è di minimo locale forte. e vale $-1/2 $.
La funzione da te descritta presenta un punto stazionario in (0,0) ed una matrice a valori sempre costanti... ora quello che mi chiedevo io come faccio a dire che punto è (0,0)? dovrebbe essere un minimo lo stesso? in quanto determinante =4 e primo elemento della matrice=2?
p.s: grazie camillo !
p.s: grazie camillo !
"Magister":
La funzione da te descritta presenta un punto stazionario in (0,0) ed una matrice a valori sempre costanti... ora quello che mi chiedevo io come faccio a dire che punto è (0,0)? dovrebbe essere un minimo lo stesso? in quanto determinante =4 e primo elemento della matrice=2?
Con l'Hessiano risolvi ma, in generale, nello specifico caso quella funzione è una somma di quadrati che si annulla solo ed esclusivamente nello zero - ricordo che una somma di quadrati assume sempre valori positivi o (al max) nulli - dunque l'origine è un punto di minimo.
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