Punti critici di una funzione
Salve a tutti , ho un seguente dubbio riguardo a questa funzione.
\[F(x,y)=x^2y^2+x^3-3x^2\]
Metto a sistema le derivate parziali ed ottengo
\[\begin{cases}
F_{x}=2xy +3x^2-6x=0 \\
F_{y}=2yx^2=0
\end{cases}\]
E ottengo che la retta \((0,y)\) è una retta di punti critici.Il professore in questi casi ci ha detto che l'hessiano è sicuramente nullo.Quindi passo a studiare il \(\Delta F\).
\[\Delta F=x^2y^2+x^3-3x^2 \geq 0\]
Mettendo in evidenza la ([x^2\) ottengo \(x^2(y^2+x-3)\geq 0 \)
E quindi \(x \geq 3-y^2\).
Quindi la mia funzione sarebbe questa
e mi trovo i punti che ho messo in figura.
Ora vorrei capire se ho fatto bene poichè il mio professore invece di usare questa che ho fatto io usa una funzione simile ma capovolta cioè con punto di intersezione ,sull'asse x, (0,3).
\[F(x,y)=x^2y^2+x^3-3x^2\]
Metto a sistema le derivate parziali ed ottengo
\[\begin{cases}
F_{x}=2xy +3x^2-6x=0 \\
F_{y}=2yx^2=0
\end{cases}\]
E ottengo che la retta \((0,y)\) è una retta di punti critici.Il professore in questi casi ci ha detto che l'hessiano è sicuramente nullo.Quindi passo a studiare il \(\Delta F\).
\[\Delta F=x^2y^2+x^3-3x^2 \geq 0\]
Mettendo in evidenza la ([x^2\) ottengo \(x^2(y^2+x-3)\geq 0 \)
E quindi \(x \geq 3-y^2\).
Quindi la mia funzione sarebbe questa
e mi trovo i punti che ho messo in figura.Ora vorrei capire se ho fatto bene poichè il mio professore invece di usare questa che ho fatto io usa una funzione simile ma capovolta cioè con punto di intersezione ,sull'asse x, (0,3).
Risposte
Il luogo dei punti soddisfacenti \(x= 3-y^2\) è infatti una parabola avente per asse l'asse delle ascisse e vertice in \((3,0)\); nel tuo disegno hai scambiato la \(x\) con la \(y\).
ah ok...grazie mille,quando ci si affida a wolfram per confrontare, quindi i punti i critici li devo studiare rispetto ai due punti di intersezione sull'asse y che dovrebbero essere \[\sqrt{3},-\sqrt{3}\].
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