Punti critici di una funzione
$f(x,y)=x(y-x)^(2/3)$ calcolando le derivate parziale trovo che per y=x non esiste la derivata. E' un caso simile ai punti di cuspide in R? Come devo continuare l'esercizio?
Risposte
perchè non esiste la derivata? io trovo che esiste e lungo quella retta le derivate parziali si annullano.
Devo dire che gli hai chiarito molto le idee ettanic 
.
Calcolando la derivata parziale rispetta ad $y$ ad esempio, se procedi nella maniera "classica" ti trovi
\[\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{y-x}}\]
quindi tu giustamente diresti che per $y=x$ la derivata non esiste. In verità in questi casi devi ragionare diversamente: o calcoli direttamente il limite del rapporto incrementale bla bla bla oppure dici che
\[\dfrac{\partial f}{\partial y}\Bigg|_{y=x}=\dfrac{\partial [x(y-x)^{1/3}]}{\partial y}\Bigg|_{y=x}=\dfrac{\partial [y(y-y)^{1/3}]}{\partial y}=\dfrac{\partial (0)}{\partial y}=0\]
Spero di esserti stato utile ciao
.Calcolando la derivata parziale rispetta ad $y$ ad esempio, se procedi nella maniera "classica" ti trovi
\[\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{y-x}}\]
quindi tu giustamente diresti che per $y=x$ la derivata non esiste. In verità in questi casi devi ragionare diversamente: o calcoli direttamente il limite del rapporto incrementale bla bla bla oppure dici che
\[\dfrac{\partial f}{\partial y}\Bigg|_{y=x}=\dfrac{\partial [x(y-x)^{1/3}]}{\partial y}\Bigg|_{y=x}=\dfrac{\partial [y(y-y)^{1/3}]}{\partial y}=\dfrac{\partial (0)}{\partial y}=0\]
Spero di esserti stato utile
ciao
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