Punti critici di una funzione
L'esercizio mi richiede di studiare i punti critici della funzione $ f(x,y)=-(x^2-y)^2e^{y-x} $
Ho provato a risolverlo determinando il gradiente:
$ nabla f(x,y)=(fx(x,y),fy(x,y)) rArr nabla f(x,y)=( (x^2-y)(x^2-4x-y)e^{y-x} , -(y-x^2)(y-x^2+2)e^{y-x} ) $
Ora i punti critici dovrebbero essere i punti in cui il gradiente si annulla e sono dati dal sistema
$ { ((x^2-y)(x^2-4x-y)e^{y-x}=0) ,(-(y-x^2)(y-x^2+2)e^{y-x}=0):} $
So che è una lacuna enorme ma non ho idea di come risolvere questo sistema.
Inoltre risolvendolo con la mia TI-89 il risultato è:
$ x=-sqrt(a) $ e $ y=a $ con $ a>0 $ oppure
$ x=sqrt(a) $ e $ y=a $ con $ a>0 $ oppure
$ x=1/2 $ e $ y=-7/4 $
Il punto $(1/2,-7/4)$ non è un problema ma cosa mi significano quei due insiemi (infiniti tra l'altro) di punti? Come determino che tipo di punti critici sono?
E, molto più importante, come posso risolvere a mano quel sistema?
Ho provato a risolverlo determinando il gradiente:
$ nabla f(x,y)=(fx(x,y),fy(x,y)) rArr nabla f(x,y)=( (x^2-y)(x^2-4x-y)e^{y-x} , -(y-x^2)(y-x^2+2)e^{y-x} ) $
Ora i punti critici dovrebbero essere i punti in cui il gradiente si annulla e sono dati dal sistema
$ { ((x^2-y)(x^2-4x-y)e^{y-x}=0) ,(-(y-x^2)(y-x^2+2)e^{y-x}=0):} $
So che è una lacuna enorme ma non ho idea di come risolvere questo sistema.
Inoltre risolvendolo con la mia TI-89 il risultato è:
$ x=-sqrt(a) $ e $ y=a $ con $ a>0 $ oppure
$ x=sqrt(a) $ e $ y=a $ con $ a>0 $ oppure
$ x=1/2 $ e $ y=-7/4 $
Il punto $(1/2,-7/4)$ non è un problema ma cosa mi significano quei due insiemi (infiniti tra l'altro) di punti? Come determino che tipo di punti critici sono?
E, molto più importante, come posso risolvere a mano quel sistema?
Risposte
E' un prodotto, quindi se il risultato è uguale a $0$ - lavorando in $RR$ che è un dominio di integrità- sicuramente uno dei fattori deve essere uguale a $0$. L'esponenziale è sempre strettamente maggiore di $'$, quindi l'unica possibilità è che $x^2-y=0$ oppure $x^2-4x-y=0$. Da qui con il metodo di sostituzione ottieni i risultati che cerchi.
Bene, vediamo se ho capito qualcosa.
$ { ( (x^2-y)(x^2-4x-y)e^{y-x}=0 ),((x^2-y)(-y+x^2-2)e^{y-x}=0 ):} $
La prima equazione del sistema è un prodotto uguale a zero, il che significa che uno dei fattori deve essere uguale a zero. Dato che l'esponenziale è sempre maggiore di zero le uniche possibilità sono
I) $ (x^2-y)=0 $
II) $ (x^2-4x-y)=0 $
caso I)
$ { (x^2-y =0),((x^2-y)(-y+x^2-2)e^{y-x}=0 ):} rArr { (x^2-y=0 ),(0=0):} $ ...e questo cosa significa? Che punto mi restituisce?
caso II)
$ { (x^2-4x-y =0),((x^2-y)(-y+x^2-2)e^{y-x}=0 ):} rArr { (y = x^2-4x),(8x(2x-1)e^{x^2-5x}=0 ):} $
facendo le stesse osservazioni di prima diciamo che nella seconda equazione, dato che l'esponenziale è sempre maggiore di 0, può essere
- $ 8x=0 rArr x=0 $ e di conseguenza anche $y=0$
-$ 2x-1=0 rArr x=1/2 $ e di conseguenza $y= -7/4 $
Alla fine ottengo i punti critici $ A=(0,0) $ e $ B=(1/2, -7/4) $. Bene mi ritrovo anche con un punto trovato con la calcolatrice. Ma quel caso I) ? Come lo tratto?
$ { ( (x^2-y)(x^2-4x-y)e^{y-x}=0 ),((x^2-y)(-y+x^2-2)e^{y-x}=0 ):} $
La prima equazione del sistema è un prodotto uguale a zero, il che significa che uno dei fattori deve essere uguale a zero. Dato che l'esponenziale è sempre maggiore di zero le uniche possibilità sono
I) $ (x^2-y)=0 $
II) $ (x^2-4x-y)=0 $
caso I)
$ { (x^2-y =0),((x^2-y)(-y+x^2-2)e^{y-x}=0 ):} rArr { (x^2-y=0 ),(0=0):} $ ...e questo cosa significa? Che punto mi restituisce?
caso II)
$ { (x^2-4x-y =0),((x^2-y)(-y+x^2-2)e^{y-x}=0 ):} rArr { (y = x^2-4x),(8x(2x-1)e^{x^2-5x}=0 ):} $
facendo le stesse osservazioni di prima diciamo che nella seconda equazione, dato che l'esponenziale è sempre maggiore di 0, può essere
- $ 8x=0 rArr x=0 $ e di conseguenza anche $y=0$
-$ 2x-1=0 rArr x=1/2 $ e di conseguenza $y= -7/4 $
Alla fine ottengo i punti critici $ A=(0,0) $ e $ B=(1/2, -7/4) $. Bene mi ritrovo anche con un punto trovato con la calcolatrice. Ma quel caso I) ? Come lo tratto?
I caso ) $y= x^2 $ rappresenta tutti i punti della parabola che sono punti critici da verificarne la natura.
Ok quindi ho un'intera "parabola critica".
Finisco di risolvere l'esercizio per avere conferma e per aiutare gli eventuali utenti interessati all'argomento.
Ho i punti critici $ A(0,0) $ $ B(1/2,-7/4) $ $ C(\pm sqrt(a),a) $ (quest'ultimo punto indica tutti i punti della parabola per $ a > 0 $
Per determinarne la natura utilizzo la matrice Hessiana nei 3 punti che è data da
$ Hf(x_0;y_0)=( ( f_(x x) (x_0 ; y_0) , f_(xy)(x_0 ; y_0) ),( f_(xy)(x_0 ; y_0) , f_(yy)(x_0 ; y_0) ) ) $ dove
$ f_(x x) = -(x^4-8x^3-2x^2(y-6)+8xy+y(y-4))e^{y-x} $
$ f_(x y) = (x^4-4x^3-2x^2(y+1)+4x(y+1+)y(y+2))e^{y-x} $
$ f_(y y) = -(x^4-2x^2(y+2)+y^2+4y+2)e^{y-x}$
L'hessiana del punto B vale $ Hf(1/2,-7/4)=( ( 0 , -2e^{-9/4} ),( -2e^{-9/4} , 0 ) ) $ e il suo determinante vale $ -4e^{-9/2} $ che, essendo minore di 0, ci dice che B è un punto di sella.
L'hessiana dei punti C vale $ Hf(sqrt(a),a)=( ( 0 , 4 sqrt(a) e^{a- sqrt(a)} ),( 4 sqrt(a) e^{a- sqrt(a)} , 0 ) ) $ e il suo determinante vale $ -16a e^{2a-2 sqrt(a)} $ che, per $ a > 0 $ è sempre minore di 0 quindi i punti della parabola sono tutti punti di sella
L'hessiana del punto A vale $ Hf(0,0)=( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ che da sola non può dirci niente. Anche gli autovalori di questa hessiana valgono 0 quindi non mi resta che studiare il segno della funzione. Dato che l'esponenziale è sempre positivo e la potenza al quadrato anche, a causa del segno - davanti alla funzione la funzione e sempre negativa, quindi il punto A è un punto di massimo.
Vi prego ditemi che ci ho azzeccato XD
Finisco di risolvere l'esercizio per avere conferma e per aiutare gli eventuali utenti interessati all'argomento.
Ho i punti critici $ A(0,0) $ $ B(1/2,-7/4) $ $ C(\pm sqrt(a),a) $ (quest'ultimo punto indica tutti i punti della parabola per $ a > 0 $
Per determinarne la natura utilizzo la matrice Hessiana nei 3 punti che è data da
$ Hf(x_0;y_0)=( ( f_(x x) (x_0 ; y_0) , f_(xy)(x_0 ; y_0) ),( f_(xy)(x_0 ; y_0) , f_(yy)(x_0 ; y_0) ) ) $ dove
$ f_(x x) = -(x^4-8x^3-2x^2(y-6)+8xy+y(y-4))e^{y-x} $
$ f_(x y) = (x^4-4x^3-2x^2(y+1)+4x(y+1+)y(y+2))e^{y-x} $
$ f_(y y) = -(x^4-2x^2(y+2)+y^2+4y+2)e^{y-x}$
L'hessiana del punto B vale $ Hf(1/2,-7/4)=( ( 0 , -2e^{-9/4} ),( -2e^{-9/4} , 0 ) ) $ e il suo determinante vale $ -4e^{-9/2} $ che, essendo minore di 0, ci dice che B è un punto di sella.
L'hessiana dei punti C vale $ Hf(sqrt(a),a)=( ( 0 , 4 sqrt(a) e^{a- sqrt(a)} ),( 4 sqrt(a) e^{a- sqrt(a)} , 0 ) ) $ e il suo determinante vale $ -16a e^{2a-2 sqrt(a)} $ che, per $ a > 0 $ è sempre minore di 0 quindi i punti della parabola sono tutti punti di sella
L'hessiana del punto A vale $ Hf(0,0)=( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ che da sola non può dirci niente. Anche gli autovalori di questa hessiana valgono 0 quindi non mi resta che studiare il segno della funzione. Dato che l'esponenziale è sempre positivo e la potenza al quadrato anche, a causa del segno - davanti alla funzione la funzione e sempre negativa, quindi il punto A è un punto di massimo.
Vi prego ditemi che ci ho azzeccato XD
Guarda prendi quello che ti dico con le pinze, perché sto studiando anche io queste cose in questi giorni e non sono ancora ferrato, ma a me pare che tutti i punti della parabole $y=x^2$ siano punti di massimo.
Sono tutti punti critici, inoltre proprio perché la funzione è sempre negativa assume proprio in corrispondenza di questi punti valore $0$ che pertanto è di massimo (assoluto a questo punto!).
Dovesse essere una considerazione sbagliata perdonami!
Sono tutti punti critici, inoltre proprio perché la funzione è sempre negativa assume proprio in corrispondenza di questi punti valore $0$ che pertanto è di massimo (assoluto a questo punto!).
Dovesse essere una considerazione sbagliata perdonami!
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