Punti critici di una funzione
Ciao a tutti ragazzi, sto svolgendo un esercizio che mi chiede di trovare i punti critici della funzione : $ f(x,y) = x^2y-2x^2y^2+ xy $
Intanto ho svolto le derivate parziali arrivando a:
$ d/dx f(x,y) = 2xy- 4xy^2+y
d/dy f(x,y) = x^2-4x^2y+x $
Ora dovrei mettere a sistema queste due derivate prime ponendole = 0.
Mi potete aiutare nella risoluzione del sistema? Solitamente li svolgo per sostituzione ma qui non sono capace di venirne fuori.
grazie a tutti
Intanto ho svolto le derivate parziali arrivando a:
$ d/dx f(x,y) = 2xy- 4xy^2+y
d/dy f(x,y) = x^2-4x^2y+x $
Ora dovrei mettere a sistema queste due derivate prime ponendole = 0.
Mi potete aiutare nella risoluzione del sistema? Solitamente li svolgo per sostituzione ma qui non sono capace di venirne fuori.
grazie a tutti
Risposte
[strike]ciao 
la derivata parziale rispetto a $x$ con $ y = cost $ è errata[/strike]
la derivata parziale rispetto a $x$ con $ y = cost $ è errata[/strike]
$ 2xy-4xy^2+y=0-> y(2x-4xy+1)=0 $
che è verificata per
$ y= 0, y=(2x+1)/(4x $
sostituisci e dovrebbe essere tutto ok!
che è verificata per
$ y= 0, y=(2x+1)/(4x $
sostituisci e dovrebbe essere tutto ok!
Ciao, ti consiglio di procede così:
abbiamo il sistema formato da $2xy-4xy^2+y=0$ e $x^2-4x^2+x$, prima cosa raccogliamo la $y$ nel primo e la $x$ nel secondo così da semplificare il tutto, dunque otteniamo $y(2x-4xy+1)=0$ e $x(x-4xy+1)=0$, adesso ragioniamo sui punti: per $y=0$ abbiamo che la prima equazioni $=0$, dunque sostituiamo nella seconda per trovare la $x$ corrispondente, tali che si annullino entrambi in quel punto e troviamo così $2$ punti dato che per $y=0$ abbiamo che la seconda equazione si annulla per $x=0$ e $x=-1$, dopodichè abbiamo anche il termine dentro parentesi nella prima, bene, imponiamolo uguale a $0$ (dobbiamo trovare tutti i punti no?) e troviamo che $y=(1+2x)/(4x)$....allora lo sostituisci nella seconda e trovi UN altro punto, attento che $x=0$ non può essere soluzione sta volta
abbiamo il sistema formato da $2xy-4xy^2+y=0$ e $x^2-4x^2+x$, prima cosa raccogliamo la $y$ nel primo e la $x$ nel secondo così da semplificare il tutto, dunque otteniamo $y(2x-4xy+1)=0$ e $x(x-4xy+1)=0$, adesso ragioniamo sui punti: per $y=0$ abbiamo che la prima equazioni $=0$, dunque sostituiamo nella seconda per trovare la $x$ corrispondente, tali che si annullino entrambi in quel punto e troviamo così $2$ punti dato che per $y=0$ abbiamo che la seconda equazione si annulla per $x=0$ e $x=-1$, dopodichè abbiamo anche il termine dentro parentesi nella prima, bene, imponiamolo uguale a $0$ (dobbiamo trovare tutti i punti no?) e troviamo che $y=(1+2x)/(4x)$....allora lo sostituisci nella seconda e trovi UN altro punto, attento che $x=0$ non può essere soluzione sta volta
"asker993":
Ciao, ti consiglio di procede così:
abbiamo il sistema formato da $2xy-4xy^2+y=0$ e $x^2-4x^2+x$, prima cosa raccogliamo la $y$ nel primo e la $x$ nel secondo così da semplificare il tutto, dunque otteniamo $y(2x-4xy+1)=0$ e $x(x-4xy+1)=0$, adesso ragioniamo sui punti: per $y=0$ abbiamo che la prima equazioni $=0$, dunque sostituiamo nella seconda per trovare la $x$ corrispondente, tali che si annullino entrambi in quel punto e troviamo così $2$ punti dato che per $y=0$ abbiamo che la seconda equazione si annulla per $x=0$ e $x=-1$, dopodichè abbiamo anche il termine dentro parentesi nella prima, bene, imponiamolo uguale a $0$ (dobbiamo trovare tutti i punti no?) e troviamo che $y=(1+2x)/(4x)$....allora lo sostituisci nella seconda e trovi UN altro punto, attento che $x=0$ non può essere soluzione sta volta
Grazie infinite per la spiegazione
Però non riesco a capire come trovare il terzo punto. Sostituendo $y=(1+2x)/(4x)$ nella seconda eq. arrivo a $ x^2=0 $, ammesso che non abbia sbagliato i conti, e non potendo essere soluzione $x=0$ posso dire che ho finito? Oppure sbaglio qualcosa?
Ammesso che i conti siano giusti tu hai finito. (Però devi ricordare di trovare anche il risultato per $y=0$)
"TheAnswer93":
Ammesso che i conti siano giusti tu hai finito. (Però devi ricordare di trovare anche il risultato per $y=0$)
Ok grazie mille
eccomi...iceman, sostituisci $ y=(1+2x)/(4x) $ in $x(x-4xy+1)=0 $ e trovi l'ultimo punto....
Faccio presente che $y={1+2x}/{4x}$ ha senso solo se $x\ne 0$. Il metodo corretto di procedere è il seguente: avendosi il sistema
$$y(2x-4xy+1)=0,\qquad x(x-4xy+1)=0$$
Dalla prima vediamo che le condizioni affinché sia verificato sono $y=0$ oppure $2x-4xy+1=0\ \Rightarrow\ -4xy+1=-2x$.
Sostituendo $y=0$ nella seconda si ha $x(x+1)=0$ da cui le soluzioni $x=0,\ x=-1$;
sostituendo $-4xy+1=-2x$ nella seconda si ha $-x^2=0$ da cui $x=0$ che sostituito nella precedente porta a $-1=0$ che non è ammissibile.
$$y(2x-4xy+1)=0,\qquad x(x-4xy+1)=0$$
Dalla prima vediamo che le condizioni affinché sia verificato sono $y=0$ oppure $2x-4xy+1=0\ \Rightarrow\ -4xy+1=-2x$.
Sostituendo $y=0$ nella seconda si ha $x(x+1)=0$ da cui le soluzioni $x=0,\ x=-1$;
sostituendo $-4xy+1=-2x$ nella seconda si ha $-x^2=0$ da cui $x=0$ che sostituito nella precedente porta a $-1=0$ che non è ammissibile.
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