Punti critici di funzione di due variabili
Premetto che è il primo esercizio che faccio in tal proposito e uno dei primi in generale sulle funzioni di più variabili, quindi potrei dire delle enormi boiate!
Esercizio. Determinare i punti critici di \(f(x,y)=x \sqrt[3]{y}\) e determinarne la natura.
Io lo sto svolgendo così, dov'è che sbaglio?
Ho trovato
\[\frac{ \partial }{\partial x} f(x,y)=\sqrt[3]{y}\]
\[ \frac{ \partial }{\partial y} f(x,y)=\frac{x}{3 \sqrt[3]{y^2})}\] se \(y \ne 0\)
Pongo quindi le derivate parziali uguali a 0, metto a sistema, e dovrei trovare i punti...
\[ \frac{ \partial }{\partial x} f(x,y)=\sqrt[3]{y}=0\] se \(y=0\)
\[ \frac{ \partial }{\partial y} f(x,y)=\frac{x}{3 \sqrt[3]{y^2})}=0\] se \(x=0\), ma \(y \ne 0\)...
Quindi mi sembra che mi venga che non esistano punti stazionari... Dove sbaglio?
Esercizio. Determinare i punti critici di \(f(x,y)=x \sqrt[3]{y}\) e determinarne la natura.
Io lo sto svolgendo così, dov'è che sbaglio?
Ho trovato
\[\frac{ \partial }{\partial x} f(x,y)=\sqrt[3]{y}\]
\[ \frac{ \partial }{\partial y} f(x,y)=\frac{x}{3 \sqrt[3]{y^2})}\] se \(y \ne 0\)
Pongo quindi le derivate parziali uguali a 0, metto a sistema, e dovrei trovare i punti...
\[ \frac{ \partial }{\partial x} f(x,y)=\sqrt[3]{y}=0\] se \(y=0\)
\[ \frac{ \partial }{\partial y} f(x,y)=\frac{x}{3 \sqrt[3]{y^2})}=0\] se \(x=0\), ma \(y \ne 0\)...
Quindi mi sembra che mi venga che non esistano punti stazionari... Dove sbaglio?
Risposte
Nell'origine hai $0/0$, cioè una forma indeterminata.
Dovresti intuire che nell'origine hai una specie di sella e cercare di dimostrarlo.
Dovresti intuire che nell'origine hai una specie di sella e cercare di dimostrarlo.
"Quinzio":
Nell'origine hai $0/0$, cioè una forma indeterminata.
Dovresti intuire che nell'origine hai una specie di sella e cercare di dimostrarlo.
Non ho davvero nessuna idea... Non saprei come fare se non porre \( \nabla f(x,y)=0\) per trovare i punti critici...
Diciamo che non è l'esercizio più facile per capire bene come trovare massimi e minimi in due variabili ; come ti ha suggerito Quinzio , in questo caso hai un punto di sella nel punto (0,0) ; in parole povere il punto di sella non è ne un massimo ne un minimo.
Per dimostrarlo credo tu possa studiare l'incremento $f(x,y) - f(x_0 , y_0)$ dove $ f(x_0 , y_0)$ è il punto critico , nel tuo caso quindi devi studiare $f(x,y)-f(0 , 0) -> f(x, y)$.
Per dimostrare che abbiamo un punto di sella puoi "sostituire" ad x o ad y altri "tipi" di variabili e dimostrare che lungo una restrizione hai un massimo e lungo un'altra hai un minimo. (un pò come si fa pre dimostrare che un limite non esiste).
Oppure trovi una restrizione che ti dia un funzione con tangente orizzontale.
In questi casi mostreresti che il punto in questione è una sella.
Per dimostrarlo credo tu possa studiare l'incremento $f(x,y) - f(x_0 , y_0)$ dove $ f(x_0 , y_0)$ è il punto critico , nel tuo caso quindi devi studiare $f(x,y)-f(0 , 0) -> f(x, y)$.
Per dimostrare che abbiamo un punto di sella puoi "sostituire" ad x o ad y altri "tipi" di variabili e dimostrare che lungo una restrizione hai un massimo e lungo un'altra hai un minimo. (un pò come si fa pre dimostrare che un limite non esiste).
Oppure trovi una restrizione che ti dia un funzione con tangente orizzontale.
In questi casi mostreresti che il punto in questione è una sella.
io tento la mia di risoluzione, dato che sto al primo capitolo di max e min relativi
studio l'hessiana, cioè faccio le varie derivate:
$H(x,y)= ((0,2/3 y^-(1/3)),(1/3 y^(-2/3), -2x/9 y^(-5/3)))$
trovo il determinante:
$det H = -2/(9y)$
$y=\0$
distinguo due casi:
**per ogni $x$ di $RR^2$, $y>0$: $H<0$ nè di max nè di min
****per ogni $x$ di $RR^2$, $y<0$: $H>0$ ma ha $f_(xx)=0$
e evidentemente nel punto $(0,0)$ bisogna fare come ha detto l'utente prima di me, uno studio sulla differenziabilità -> continuità...
studio l'hessiana, cioè faccio le varie derivate:
$H(x,y)= ((0,2/3 y^-(1/3)),(1/3 y^(-2/3), -2x/9 y^(-5/3)))$
trovo il determinante:
$det H = -2/(9y)$
$y=\0$
distinguo due casi:
**per ogni $x$ di $RR^2$, $y>0$: $H<0$ nè di max nè di min
****per ogni $x$ di $RR^2$, $y<0$: $H>0$ ma ha $f_(xx)=0$
e evidentemente nel punto $(0,0)$ bisogna fare come ha detto l'utente prima di me, uno studio sulla differenziabilità -> continuità...
Esatto credo che @ludwigZero abbia ragione : prima di poter trovare una restrizione e dimostrare che hai un punto di sella devi dimostrare che la forma quadratica associata al tuo problema sia indefinita ossia devi riuscire a dimostrare che il determinante della matrice Hessiana calcolata nel punto critico in questione sia $< 0$ ; in quel caso studi l'incremento
Ma se non sbaglio una forma quadratica indefinita cioè con determinante $= 0$ si può già dire che presenta un punto di sella.
Ma se non sbaglio una forma quadratica indefinita cioè con determinante $= 0$ si può già dire che presenta un punto di sella.
Sono alle prese con un nuovo esercizio. Non so se il mio ragionamento è corretto.
Devo trovare i punti critici di
\[
f(x,y)=|sinx|(x^2-y)
\]
Trovo che l'unico punto critico nella striscia \((-\pi,\pi) \times R\) è \((0,0)\). Se calcolo la matrice Hessiana in quel punto scopro che è
\[
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
che ha determinante \(0\). Dunque non posso concludere niente.
Ma se restringo la funzione all'asse \(x\) ottengo \(f(x,0)=|sinx|x^2 \geq 0\) mentre se la restringo all'asse \(y\) ottengo \(f(0,y)=0\), dunque posso concludere che il punto \((0,0)\) è di minimo.
È corretto o è una castroneria assurda??
Devo trovare i punti critici di
\[
f(x,y)=|sinx|(x^2-y)
\]
Trovo che l'unico punto critico nella striscia \((-\pi,\pi) \times R\) è \((0,0)\). Se calcolo la matrice Hessiana in quel punto scopro che è
\[
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
che ha determinante \(0\). Dunque non posso concludere niente.
Ma se restringo la funzione all'asse \(x\) ottengo \(f(x,0)=|sinx|x^2 \geq 0\) mentre se la restringo all'asse \(y\) ottengo \(f(0,y)=0\), dunque posso concludere che il punto \((0,0)\) è di minimo.
È corretto o è una castroneria assurda??
"giuliofis":
[quote="Quinzio"]Nell'origine hai $0/0$, cioè una forma indeterminata.
Dovresti intuire che nell'origine hai una specie di sella e cercare di dimostrarlo.
Non ho davvero nessuna idea... Non saprei come fare se non porre \( \nabla f(x,y)=0\) per trovare i punti critici...[/quote]
Ma infatti devi fare così. Poi procedi utilizzando uno dei metodi che ti hanno mostrato i ragazzi. Per verificare che $\nabla f(0,0)=0$ devi applicare la definizione (proprio perchè se calcoli la derivata "al solito modo", come hai fatto, ti trovi la forma indeterminata).
Stabilito che $\partial_x f(x,y)$ si annulla ssse $y=0$, devi verificare in quali punti si annulla $\partial_yf(x,y)$. Applicando la definizione in $(0,0)$ hai
\[\dfrac{\partial }{\partial y}f(x,y)\Bigg|_{(x,y)=(0,0)}=\dfrac{d}{dy} f(0,y)\Bigg|_{y=0}=\dfrac{d}{dy}\left[ \dfrac{0}{3y^{2/3}} \right]\Bigg|_{y=0}=\dfrac{d}{dy}[0]=0\]
"giuliofis":
Sono alle prese con un nuovo esercizio. Non so se il mio ragionamento è corretto.
Devo trovare i punti critici di
\[
f(x,y)=|sinx|(x^2-y)
\]
Trovo che l'unico punto critico nella striscia \((-\pi,\pi) \times R\) è \((0,0)\). Se calcolo la matrice Hessiana in quel punto scopro che è
\[
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
che ha determinante \(0\). Dunque non posso concludere niente.
Ma se restringo la funzione all'asse \(x\) ottengo \(f(x,0)=|sinx|x^2 \geq 0\) mentre se la restringo all'asse \(y\) ottengo \(f(0,y)=0\), dunque posso concludere che il punto \((0,0)\) è di minimo.
È corretto o è una castroneria assurda??
Se ti restringi alla parabola $y=2x^2$ trovi che $0$ è un punto di massimo, e poichè prima avevi trovato un altra curva lungo la quale $f$ presentava un minimo in $0$, allora $(0,0)$ è di sella.
"Plepp":
[quote="giuliofis"]Sono alle prese con un nuovo esercizio. Non so se il mio ragionamento è corretto.
Devo trovare i punti critici di
\[
f(x,y)=|sinx|(x^2-y)
\]
Trovo che l'unico punto critico nella striscia \((-\pi,\pi) \times R\) è \((0,0)\). Se calcolo la matrice Hessiana in quel punto scopro che è
\[
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
che ha determinante \(0\). Dunque non posso concludere niente.
Ma se restringo la funzione all'asse \(x\) ottengo \(f(x,0)=|sinx|x^2 \geq 0\) mentre se la restringo all'asse \(y\) ottengo \(f(0,y)=0\), dunque posso concludere che il punto \((0,0)\) è di minimo.
È corretto o è una castroneria assurda??
Se ti restringi alla parabola $y=2x^2$ trovi che $0$ è un punto di massimo, e poichè prima avevi trovato un altra curva lungo la quale $f$ presentava un minimo in $0$, allora $(0,0)$ è di sella.[/quote]
Giusto, caspita!!! Il fatto che abbia trovato una restrizione in cui è massimo non significa che lo sia anche per le altre! Mille grazie!
Figurati 
Ma l'hai letto l'altro post? 
Ma l'hai letto l'altro post?
"Plepp":
Figurati
Dimmi se è corretto. Per la funzione \(f(x,y)=x \sqrt[3]{y}\) se mi restringo a \(y=x^2\), ottengo \(\(f(x,x^2)=x|x|\) che cambi già segno a seconda se raggiungo \(0\) da destra o da sinistra, quindi è di sella.
BOIATA IMMENSA, HO RISCRITTO UN ALTRO POST QUI SOTTO...
"Plepp":
Figurati
Dimmi se è corretto. Per la funzione \(f(x,y)=x \sqrt[3]{y}\) se mi restringo a \(y=x^3\), ottengo \(\(f(x,x^3)=x^2 \geq 0 \), mentre se mi restringo a \(y=-x^3\), ottengo \(\(f(x,-x^3)=-x^2 \leq 0\), quindi è di sella.
Ahahah vabbè prendi $y=|x|^3$, per ottenere lo stesso risultato, no? 
Comunque sì, va bene.
Comunque sì, va bene.
"Plepp":
Ahahah vabbè prendi $y=|x|^3$, per ottenere lo stesso risultato, no?
Così? Per la funzione \(f(x,y)=x \sqrt[3]{y}\) se mi restringo a \(y=x^3\), ottengo \(\(f(x,x^3)=x^2 \geq 0 \), mentre se mi restringo a \(y=-x^3\), ottengo \(\(f(x,-x^3)=-x^2 \leq 0\), quindi è di sella.
Si si si è lo stesso! Usando il modulo prendi due piccioni con un fava 
"Plepp":
Si si si è lo stesso! Usando il modulo prendi due piccioni con un fava
Giusto, caspita!
MILIONI DI GRAZIE!
Senti mi potresti guardare anche questo esercizio visto che non ho ricevuto risposte?
differenziabilita-di-funzione-di-due-variabili-reali-t98043.html
Eh ora sono alle prese con il [size=85]fottutissimo[/size] campo magnetico 
Appeno ho un po' di respiro do' un'occhiata.
Comunque, per scrivere le funzioni definite per casi puoi usare
per ottenere
\[
f(x)=
\begin{cases}
1 & \text{se}\ x=0\\
x & \text{se}\ x\neq 0
\end{cases}
\]
ora sono alle prese con il [size=85]fottutissimo[/size] campo magnetico Appeno ho un po' di respiro do' un'occhiata.Comunque, per scrivere le funzioni definite per casi puoi usare
f(x)=
\begin{cases}
1 & \text{se}\ x=0\\
x & \text{se}\ x\neq 0
\end{cases}
per ottenere
\[
f(x)=
\begin{cases}
1 & \text{se}\ x=0\\
x & \text{se}\ x\neq 0
\end{cases}
\]
"Plepp":
Eh
Comunque, per scrivere le funzioni definite per casi puoi usare
f(x)= \begin{cases} 1 & \text{se}\ x=0\\ x & \text{se}\ x\neq 0 \end{cases}
per ottenere
\[
f(x)=
\begin{cases}
1 & \text{se}\ x=0\\
x & \text{se}\ x\neq 0
\end{cases}
\]
Lo avevo scritto, ma non mi veniva... Bah, LaTex è strano!
Forse avevi saltato qualche &, oppure non avevi chiuso una graffa, Latex è pignolo 
"Plepp":
Forse avevi saltato qualche &, oppure non avevi chiuso una graffa, Latex è pignolo
Non credo. Avevo scritto la stessa cosa per stamparlo in PDF e veniva, poi copio-incollo e non viene più... Più che altro uso Latex per scrivere e aggiungere qualche immagine, non scrivo molta matematica con questo linguaggio...
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