Punti critici (con parametro)

[frons79]

Sia \(\displaystyle f(x,y)=x^3+y^3-3axy \, \, \, \, a \in \mathbb R \)
(a) Determinare \(\displaystyle f_x(x; y); f_y(x; y) \)
(b) Determinare \(\displaystyle f_{xx}(x; y); f_{yy}(x; y); f_{xy}(x; y) \)
(c) Determinare i punti critici al variare del parametro \(\displaystyle a \in \mathbb R \)
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Dunque, dico subito che il mio problema sono i calcoli per ricavarmi i punti critici al punto (c).
Al punto (a) ho ottenuto \[
f_x(x; y)=6x; \\
f_y(x; y)=6y \]
Al punto (b) ho ottenuto
\[
f_{xx}(x; y)=6x \\
f_{yy}(x; y)=6y \\
f_{xy}(x; y)=-3a
\]
Al punto (c) ho ottenuto:
\[
P_1(0;0); \\
P_2(a;a); \\
P_3(\frac{1}{2}-a+\sqrt{-3a^2};\frac{x^2}{a}); \\
P_4(\frac{1}{2}-a-\sqrt{-3a^2};\frac{x^2}{a}).
\]
Ovviamente sono i conteggi per ricavare i punti \(\displaystyle P_3 \, \, \, e \, \,\, P_4 \) che assolutamente non mi convincono, ma che fare?

[frons79]

\[
\begin{cases}
3x^2-3ay=0 \\
3y^2-3ax=0
\end{cases} \]
\[
\begin{cases}
y=\frac{x^2}{a} \\
3x(x^3-a^3)=0
\end{cases} \]
\[
\begin{cases}
y=\frac{x^2}{a} \\
3x(x-a)(x^2+ax+a^2)=0
\end{cases} \]
\[
\begin{cases}
y=\frac{x^2}{a} \\
x_1=0 \\
x_2=a \\
x_3, x_4= \frac{-a \pm \sqrt{a^2-4a^2}}{2}
\end{cases}
\]
Io mi sono incagliato qui.

[@melia]

Il discriminante è negativo tranne nel caso in cui $a=0$, ma in quel caso riottieni la soluzione $x=0$. Suppongo che stia lavorando nei reali.

[adaBTTLS1]

Non ho seguito molto il tuo procedimento. A parte, immagino, l'errore di stampa nel primo messaggio sul punto a) (mi riferisco a $f_x$ e $f_y$, che poi invece sono scritte bene nel secondo messaggio), dal primo sistema mi verrebbe spontaneo dividere per $3$ tutto quanto e poi considerare la somma membro a membro (che porta ad una circonferenza passante per l'origine, di centro $C(a/2;a/2)$ e raggio $r=a/2 sqrt 2$) e la differenza membro a membro (che porta ad un'iperbole degenere costituita dai punti delle rette di equazioni $x-y=0$ e $x+y+a=0$).
Combinando questi risultati con le altre informazioni, si ottiene $x=y=0$ o anche $x=y=a$.

Però, in realtà, sempre dal primo sistema si può dedurre che $x=0 <=> y=0$. Dunque, escludendo la soluzione elementare $(0;0)$, per le altre $x, y$ sono entrambe diverse da $0$, da cui si ottiene $a=x^2 / y = y^2 /x$ da cui $x^3=y^3$ e $x=y=a$.

Le fasi successive non le ho controllate, ma penso che dovresti essere in grado sia di verificare le soluzioni sia di andare avanti.