Punti critici
Mi servirebbe aiuto con un esercizio di analisi.
Sia $f: RR^2 \to RR$ definita da $f(x,y)=|x^2+y^2-4y|+x$.
Trovare i punti stazionari e dire quali sono di massimo o minimo relativo.
Ho tentato di risolvere il problema con il seguente approccio: ho considerato i punti appartenenti alla regione di piano delimitata dalla circonferenza di centro $(2,0)$ e raggio $2$, cioè l'insieme $A={(x,y) in RR^2 : (x-2)^2+y^2 <= 4}.
(Per non farvi perdere tempo: l'insieme si spiega perché ho risolto la disuguaglianza che segue. $x^2+y^2-4x<=0 hArr x^2-4x+4+y^2<=4 hArr (x-2)^2+y^2<=4$)
Perciò ho riscritto la funzione come:
$f(x,y)={(-x^2-y^2+4y+x,if x in A),(x^2+y^2-4y+x,if x !in A):}$
Nell'interno dell'insieme $A$ ho trovato un punto stazionario (un massimo relativo) in $(1/2,2)$. E fin qui tutto ok.
All'esterno dell'insieme i risultati del libro dicono che non c'è alcun punto stazionario. Eppure, derivando parzialmente la funzione, mi risulta $\gradf = (2x+1,2y-4)$.
Perciò, trovo un punto stazionario in $(-1/2,2)$. Non riesco a capire dove ho sbagliato
Inoltre, per quanto riguarda eventuali punti stazionari sulla frontiera $delA$, non so come comportarmi. Dovrei prolungare le derivate parziali per continuità?
Vi ringrazio in anticipo.
Sia $f: RR^2 \to RR$ definita da $f(x,y)=|x^2+y^2-4y|+x$.
Trovare i punti stazionari e dire quali sono di massimo o minimo relativo.
Ho tentato di risolvere il problema con il seguente approccio: ho considerato i punti appartenenti alla regione di piano delimitata dalla circonferenza di centro $(2,0)$ e raggio $2$, cioè l'insieme $A={(x,y) in RR^2 : (x-2)^2+y^2 <= 4}.
(Per non farvi perdere tempo: l'insieme si spiega perché ho risolto la disuguaglianza che segue. $x^2+y^2-4x<=0 hArr x^2-4x+4+y^2<=4 hArr (x-2)^2+y^2<=4$)
Perciò ho riscritto la funzione come:
$f(x,y)={(-x^2-y^2+4y+x,if x in A),(x^2+y^2-4y+x,if x !in A):}$
Nell'interno dell'insieme $A$ ho trovato un punto stazionario (un massimo relativo) in $(1/2,2)$. E fin qui tutto ok.
All'esterno dell'insieme i risultati del libro dicono che non c'è alcun punto stazionario. Eppure, derivando parzialmente la funzione, mi risulta $\gradf = (2x+1,2y-4)$.
Perciò, trovo un punto stazionario in $(-1/2,2)$. Non riesco a capire dove ho sbagliato
Inoltre, per quanto riguarda eventuali punti stazionari sulla frontiera $delA$, non so come comportarmi. Dovrei prolungare le derivate parziali per continuità?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Hai trasformato il $4x$ in $4y$ a metà esercizio. 
Ho corretto: in realtà doveva essere $4y$ nel testo dell'esercizio. Scusami
Rettifico: ho fatto un casino -_- certe volte ho scritto $4x$, certe $4y$. Correggo e vedo se mi viene. Scusami e grazie.
Per quanto riguarda la frontiera, sai aiutarmi?
Rettifico: ho fatto un casino -_- certe volte ho scritto $4x$, certe $4y$. Correggo e vedo se mi viene. Scusami e grazie.
Per quanto riguarda la frontiera, sai aiutarmi?
Fatto sta che i calcoli per trovare l'insieme A li hai fatti con $4x$. Penso che quel punto $(1/2,2)$ appartenga al "vero" insieme A.
EDIT: ok hai rettificato in tempo! Riguardo la frontiera mmm, lì non è derivabile quindi non è richiesto dall'esercizio. Però se vuoi puoi cercare i massimi/minimi lì e confrontarli con quelli eventuali presenti altrove se ti interessa cercare quelli assoluti su $RR^2$.
EDIT: ok hai rettificato in tempo! Riguardo la frontiera mmm, lì non è derivabile quindi non è richiesto dall'esercizio. Però se vuoi puoi cercare i massimi/minimi lì e confrontarli con quelli eventuali presenti altrove se ti interessa cercare quelli assoluti su $RR^2$.
Se volessi trovare massimi/minimi relativi sulla frontiera, dunque, non essendo la funzione derivabile, dovrei tentare di giocare con le diseguaglianze?
Ad esempio in $(-2,2)$ riesco ad arrivarci intuitivamente che c'è un probabile minimo, visto anche che si annulla il modulo. Ma ora ho troppo sonno per dimostrarlo. xD
Ad esempio in $(-2,2)$ riesco ad arrivarci intuitivamente che c'è un probabile minimo, visto anche che si annulla il modulo. Ma ora ho troppo sonno per dimostrarlo. xD
ciao... spero di non dire fesserie (data l'ora), ma io sarei più cauta, mi spiego:
tu dici
facendo questa posizione, affermi con certezza che la tua funzione, fuori dall'insieme A è positiva (quindi coincide con il suo modulo), mentre dentro è negativa... ne siamo sicuri? io proverei a fare qualche controllo; d'altro canto, preso il punto $ (2,1) $, che certamente è interno alla circonferenza A, sostituendolo nell'argomento del valore assoluto, non trovi una quantità negativa ma positiva e quindi, il suo modulo non dovrebbe cambiare di segno... insomma, se non sono ubriaca, non credo vada bene così...
tu dici
"Antimius":
Perciò ho riscritto la funzione come:
$f(x,y)={(-x^2-y^2+4y+x,if x in A),(x^2+y^2-4y+x,if x !in A):}$
facendo questa posizione, affermi con certezza che la tua funzione, fuori dall'insieme A è positiva (quindi coincide con il suo modulo), mentre dentro è negativa... ne siamo sicuri? io proverei a fare qualche controllo; d'altro canto, preso il punto $ (2,1) $, che certamente è interno alla circonferenza A, sostituendolo nell'argomento del valore assoluto, non trovi una quantità negativa ma positiva e quindi, il suo modulo non dovrebbe cambiare di segno... insomma, se non sono ubriaca, non credo vada bene così...
"Antimius":
Se volessi trovare massimi/minimi relativi sulla frontiera, dunque, non essendo la funzione derivabile, dovrei tentare di giocare con le diseguaglianze?
Ad esempio in $(-2,2)$ riesco ad arrivarci intuitivamente che c'è un probabile minimo, visto anche che si annulla il modulo. Ma ora ho troppo sonno per dimostrarlo. xD
Su tutta la frontiera il modulo si annulla, per cui la funzione vale $x$. Non è difficile da studiare!
mi sono accorta adesso che la traccia di prima era sbagliata, quindi l'obiezione che ho fatto non credo c'entri più con il problema corretto....
Sì, me ne sono reso conto. Soltanto che non avevo ancora corretto l'esercizio, quindi non sapevo più di quale frontiera parlavo XD
Grazie mille e buonanotte!
Grazie mille e buonanotte!
buonanotte!
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