Punti critici
Allora..sto svolgendo questo esercizio:
"Studiare i punti critici della seguente funzione nel suo insieme di definizione":
$f(x,y)=4x^3+15x^2y+12xy^2-4y^3$
Ho calcolato le derivate prime:
$(delf)/(delx)=12x^2+30xy+12y^2$
$(delf)/(dely)=15x^2+24xy-12y^2$
Dopo everle messe a sistema, ottengo quindi i seguenti punti: $A(0,0)$
$B(-2y,y)$
calcolo le derivate seconde e quella incrociata e ottengo:
$(del^2f)/(del^2x)=24x+30y$
$(del^2f)/(del^2y)=24x-24y$
$(del^2f)/(del^2xy)=30x+24y$
Ora calcolo la matrice hessiana e con entrambi i punti trovati, l'hessiano mi viene nullo!
Qualcuno mi può suggerire qualche indicazione per procedere?come faccio a capire la natura dei punti?
vi ringrazio anticipatamente.
"Studiare i punti critici della seguente funzione nel suo insieme di definizione":
$f(x,y)=4x^3+15x^2y+12xy^2-4y^3$
Ho calcolato le derivate prime:
$(delf)/(delx)=12x^2+30xy+12y^2$
$(delf)/(dely)=15x^2+24xy-12y^2$
Dopo everle messe a sistema, ottengo quindi i seguenti punti: $A(0,0)$
$B(-2y,y)$
calcolo le derivate seconde e quella incrociata e ottengo:
$(del^2f)/(del^2x)=24x+30y$
$(del^2f)/(del^2y)=24x-24y$
$(del^2f)/(del^2xy)=30x+24y$
Ora calcolo la matrice hessiana e con entrambi i punti trovati, l'hessiano mi viene nullo!
Qualcuno mi può suggerire qualche indicazione per procedere?come faccio a capire la natura dei punti?
vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Mi pare che potevi risparmiarti il calcolo del determinante Hessiano. Infatti vedo che i punti critici non sono isolati, anzi formano una retta (mi sto basando sui tuoi calcoli, occhio che non li ho controllati).
Se i punti critici non sono isolati il test del determinante Hessiano fallirà di sicuro per questione di convessità. Piuttosto, io valuterei la funzione lungo la retta di punti critici. Ne risulterà una funzione di una variabile che non dovresti avere problemi a studiare; questo fornirà delle prime informazioni.
Se i punti critici non sono isolati il test del determinante Hessiano fallirà di sicuro per questione di convessità. Piuttosto, io valuterei la funzione lungo la retta di punti critici. Ne risulterà una funzione di una variabile che non dovresti avere problemi a studiare; questo fornirà delle prime informazioni.
Ad occhio, i punti della retta d'equazione $x=-2y$ sono di nullo per $f$ ($f(-2y,y)=0$); ma $f$ è un polinomio e ciò implica che $f(x,y)$ è divisibile per $x+2y$; svolgendo la divisione si trova:
$f(x,y)=(x+2y)*(4x^2+7xy-2y^2)$
quindi, per provare se i punti della suddetta retta sono di minimo o massimo, occorre e basta studiare il segno dei due fattori in cui è stata scomposta $f$.
Il secondo fattore è una forma quadratica, quindi per stabilirne il segno basta determinarne gli autovalori; con la regola di Cartesio vedi che un autovalore è positivo, mentre l'altro è negativo quindi...
$f(x,y)=(x+2y)*(4x^2+7xy-2y^2)$
quindi, per provare se i punti della suddetta retta sono di minimo o massimo, occorre e basta studiare il segno dei due fattori in cui è stata scomposta $f$.
Il secondo fattore è una forma quadratica, quindi per stabilirne il segno basta determinarne gli autovalori; con la regola di Cartesio vedi che un autovalore è positivo, mentre l'altro è negativo quindi...
Non hai massimi relativi ne minimi relativi hai solo una retta dove la tua funzione vale 0 l'hessiano in queste condizioni non ti aiuta.
Per convicerti puoi provare a imporre nella tua equazione $y=kx$ con K appartenente ai Reali ottenendo per sostituzione la seguente equazione
$z=4k^3y^3+15k^2y^3+12ky^3-4y^3$
ovvero
$z=(4k^3+15k^2+12k-4)y^3$
trattasi di una cubica che ha un solo punto di flesso nel punto x=0.
se ora provi a disegnare il piano $y=kx$ sulle coordinate spaziali di rferimento ti accorgi che disegni un fascio di piani attorno all'asse z che copre tutto il piano x,y al variare di K e l'equazione che ho ricavato non è altro che la traccia della tua equazione sul piano considerato. Ma abbiamo visto che non ci sono massimi ne minimi nelle cubiche descritte c'è solo un punto di zero. Solo in un caso trovi una soluzione diversa se $x=-2y$ e quella è una retta stazionaria. Sei quindi su una spiaggia con alle spalle la montagna e davanti il mare e questa è la linea di confine ovvero il tuo luogo dei punti stazionari.
Per convicerti puoi provare a imporre nella tua equazione $y=kx$ con K appartenente ai Reali ottenendo per sostituzione la seguente equazione
$z=4k^3y^3+15k^2y^3+12ky^3-4y^3$
ovvero
$z=(4k^3+15k^2+12k-4)y^3$
trattasi di una cubica che ha un solo punto di flesso nel punto x=0.
se ora provi a disegnare il piano $y=kx$ sulle coordinate spaziali di rferimento ti accorgi che disegni un fascio di piani attorno all'asse z che copre tutto il piano x,y al variare di K e l'equazione che ho ricavato non è altro che la traccia della tua equazione sul piano considerato. Ma abbiamo visto che non ci sono massimi ne minimi nelle cubiche descritte c'è solo un punto di zero. Solo in un caso trovi una soluzione diversa se $x=-2y$ e quella è una retta stazionaria. Sei quindi su una spiaggia con alle spalle la montagna e davanti il mare e questa è la linea di confine ovvero il tuo luogo dei punti stazionari.
"Gugo82":
Ad occhio, i punti della retta d'equazione $x=-2y$ sono di nullo per $f$ ($f(-2y,y)=0$); ma $f$ è un polinomio e ciò implica che $f(x,y)$ è divisibile per $x+2y$; svolgendo la divisione si trova:
$f(x,y)=(x+2y)*(4x^2+7xy-2y^2)$
quindi, per provare se i punti della suddetta retta sono di minimo o massimo, occorre e basta studiare il segno dei due fattori in cui è stata scomposta $f$.
Il secondo fattore è una forma quadratica, quindi per stabilirne il segno basta determinarne gli autovalori; con la regola di Cartesio vedi che un autovalore è positivo, mentre l'altro è negativo quindi...
Quindi, osservando i segni degli autovalori, si può affermare che i punti sulla retta $x=-2y$ non sono nè di max nè di min, giusto?
Scusate, calcolando gli autovalori, ottengo: $\lambda_1=8$ e $\lambda_2=-4$ .
Secondo la teoria, ad autovalori con segno diverso corrisponde un punto di sella.....ma è anche vero che in generale $x_0$ è un punto critico se $detHf(x_0)!=0$.
Nel mio caso i punti della retta $x=-2y$ sono di nullo quindi a priori non dovrei avere punti critici.
Perchè allora studiando il segno degli autovalori, mi ritrovo un punto di sella?non è un punto critico?
Qualcuno può darmi spiegazioni?
Secondo la teoria, ad autovalori con segno diverso corrisponde un punto di sella.....ma è anche vero che in generale $x_0$ è un punto critico se $detHf(x_0)!=0$.
Nel mio caso i punti della retta $x=-2y$ sono di nullo quindi a priori non dovrei avere punti critici.
Perchè allora studiando il segno degli autovalori, mi ritrovo un punto di sella?non è un punto critico?
Qualcuno può darmi spiegazioni?
Innanzitutto, hai sbagliato a calcolre gli autovalori, che evidentemente non sono quelli.
Ma poi, mica quelli sono gli autovalori dell'hessiana... Non c'entrano nulla coi punti di sella etc.
Quelli sono autovalori che, possibilmente, ti danno informazioni sul carattere della forma quadratica $4x^2+7xy-2y^2$.
Un autovalore positivo ed uno negativo ti dicono che la tua forma non è né semidefinita positiva né semidefinita negativa, quindi ci sono valori $(x,y)$ in cui $4x^2+7xy-2y^2>=0$ e altri in cui $4x^2+7xy-2y^2<=0$.
Ci sono due rette (e poi sono quelle dirette secondo gli autovettori della matrice $((4,7/2),(7/2,-2))$) che separano le zone in cui $4x^2+7xy-2y^2$ è positiva da quelle in cui $4x^2+7xy-2y^2$ è negativa: trovale.
Poi fai un bel disegno del piano in cui metti le due rette e la retta $x=-2y$, così puoi determinare le zone di positività e negatività della funzione $f$: ti accorgerai che a cavallo della retta d'equazione $x=-2y$ la tua funzione cambia di segno, cosicché nessun punto di tale retta può essere di massimo/minimo locale.
Ma poi, mica quelli sono gli autovalori dell'hessiana... Non c'entrano nulla coi punti di sella etc.
Quelli sono autovalori che, possibilmente, ti danno informazioni sul carattere della forma quadratica $4x^2+7xy-2y^2$.
Un autovalore positivo ed uno negativo ti dicono che la tua forma non è né semidefinita positiva né semidefinita negativa, quindi ci sono valori $(x,y)$ in cui $4x^2+7xy-2y^2>=0$ e altri in cui $4x^2+7xy-2y^2<=0$.
Ci sono due rette (e poi sono quelle dirette secondo gli autovettori della matrice $((4,7/2),(7/2,-2))$) che separano le zone in cui $4x^2+7xy-2y^2$ è positiva da quelle in cui $4x^2+7xy-2y^2$ è negativa: trovale.
Poi fai un bel disegno del piano in cui metti le due rette e la retta $x=-2y$, così puoi determinare le zone di positività e negatività della funzione $f$: ti accorgerai che a cavallo della retta d'equazione $x=-2y$ la tua funzione cambia di segno, cosicché nessun punto di tale retta può essere di massimo/minimo locale.
Hai ragione..ho fatto confusione con i concetti!..ma sai a furia di ragionare con questioni di analisi matematica il mio cervello sta per andare in fumo!
Adesso ho le idee più chiare.
Ringrazio te e tutti gli altri per le preziose informazioni.
Adesso ho le idee più chiare.
Ringrazio te e tutti gli altri per le preziose informazioni.
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