Punti critici

[liam-lover]

Potete aiutarmi con i punti critici di questa funzione?

$ f(x,y)=(x^2+y^2-1)(xy-1/2) $

Arrivo fino all'impostazione del sistema delle derivate parziali, ma mi risulta difficile risolverlo.

$ { ( f_x=2x(xy-1/2)+y(y^2+x^2-1)=0 ),( f_y=2y(xy-1/2)+x(x^2+y^2-1)=0 ):} $

Dopo qualche passaggio ho:

$ { ( 3x^2y+y^3-y-1=0 ),( 3xy^2+x^3-x-1=0 ):} $

[pilloeffe]

Ciao maxira,

A me risulta

$ {(3 x^2 y + y^3 - x - y = 0),(3xy^2 + x^3 - x - y = 0):} $

Dopodiché, sommando e sottraendo membro a membro...

[Studente Anonimo]

"pilloeffe":Ciao maxira,

A me risulta

$ {(3 x^2 y + y^3 - x - y = 0),(3xy^2 + x^3 - x - y = 0):} $

Dopodiché, sommando e sottraendo membro a membro...

Anche a me risulta la stessa cosa, comunque potresti anche ragionare in modo diverso, per casi.
Discuti prima i tre casi immediati:
- \( x=y=0 \)
- \( x= 0, y\neq 0 \)
- \( x\neq 0, y= 0 \)
Poi il caso \( x=y \neq 0 \) e infine \( 0\neq x \neq y \neq 0 \).
Per quest'ultimo caso trasforma il sistema in
$ {(3 x^2 y + y^3 = x+y),(3xy^2 + x^3 = x+y):} $
ed eguaglia
$ {(3 x^2 y + y^3 = x+y),(3xy^2 + x^3 = 3 x^2 y + y^3):} $
Lavori sulla seconda equazione, dovresti arrivare a concludere che
$ {(3 x^2 y + y^3 = x+y),((y-x)^3 = 0):} $
Impossibile in quanto per ipotesi \( x \neq y \).

[liam-lover]

"pilloeffe":
A me risulta

$ {(3 x^2 y + y^3 - x - y = 0),(3xy^2 + x^3 - x - y = 0):} $

$ {(3 x^2 y + y^3 - x - y = 0),(3xy^2 + x^3 - x - y = 0):} $

Faccio la differenza:

$ {(3 x^2 y + y^3 - x - y - 3xy^2 -x^3 + x+y= 0),(3xy^2 + x^3 - x - y = 0):} $

$ {(3 x^2 y + y^3 - 3xy^2 -x^3 = 0),(3xy^2 + x^3 - x - y = 0):} $

$ {((y-x)^3= 0),(3xy^2 + x^3 - x - y = 0):} $

1)
$ {(y = 0),(x^3 - x = 0):} $

$ {(y = 0),(x(x^2-1) = 0):} $

Con soluzioni $ (0,0) $ e $ (+-1, 0) $

2)
$ {(y = x),(3y^3 + y^3 - y - y = 0):} $

$ {(y = x),(2y^3 - y= 0):} $

$ {(y = x),(y(2y^2-1)= 0):} $

Con soluzioni $ (0,0) $ e $ (+-1/sqrt2, +-1/sqrt2) $.

Il problema è che il calcolatore porta anche due punti di sella in $ (+-1/sqrt6, +-1/sqrt6) $ :/

[Studente Anonimo]

Ciao, forse non era chiaro quando ho detto di fare i casi.

"maxira":

1)
$ {(y = 0),(x^3 - x = 0):} $

$ {(y = 0),(x(x^2-1) = 0):} $

Con soluzioni $ (0,0) $ e $ (+-1, 0) $

Questo sistema non è un sistema equivalente a quello iniziale
$ {(3 x^2 y + y^3 - x - y = 0),(3xy^2 + x^3 - x - y = 0):} $

Facciamo il caso in cui $ y=x=0$, il sistema iniziale è verificato, quindi $(0,0)$ è soluzione del sistema.
Facciamo il caso in cui $x=0$ e \(y \neq 0 \) il sistema iniziale diviene
$ {(3 (0)^2 y + y^3 - 0 - y = 0),(3(0)y^2 + (0)^3 - (0) - y = 0):} $

$ {(y(y^2-1)= 0),(-y= 0):} $
Che non ammette soluzioni in quanto per ipotesi \(y \neq 0 \) e se $y=1$ allora la seconda equazione non è soddisfatta.
Continua così per i casi
- \(x\neq 0\) e $y = 0 $
- \(0\neq x = y \)
- \(y\neq x \), \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\)

"maxira":

Il problema è che il calcolatore porta anche due punti di sella in $ (+-1/sqrt6, +-1/sqrt6) $ :/

Quale calcolatore? Questi due punti non sono dei punti di sella.

[liam-lover]

Facendo così ho trovato i punti $(0,0)$ e $(+-1/sqrt2, +-1/sqrt2)$.

$ f_(x,x)=6xy-1 $
$ f_(x,y)=f(y,x)=3x^2+3y^2-1 $
$ f_(y,y)=6xy-1 $

Calcolo i due hessiani:

$ | ( -1 , -1 ),( -1 , -1 ) | =0 $

$ | ( 2 , 2 ),( 2 , 2 ) | =0 $

Studio la funzione lungo le bisettrici:

$ f(x,x)=(2x^2-1)(x^2-1/2) $

$ f'(x,x)=(4x)(x^2-1/2)+(2x)(2x^2-1)= 2x^3-x >= 0 $
$ -1/sqrt2 <= x <= 0 uu 0<=x <= 1/sqrt2 $

$ f(x,-x)=(2x^2-1)(-x^2-1/2) $
$ f'(x,x)=(4x)(x^2-1/2)+(-2x)(2x^2-1)= -8x^3 >= 0 $
$ x<=0 $

Quindi $(0,0)$ risulta punto di massimo e $(+-1/sqrt2, +-1/sqrt2)$ punti di minimo.

E' corretto?